快速幂学习笔记

啥是快速幂

快速幂,顾名思义,就是快速算某个数的多少次幂。其时间复杂度为 $O(\log N)$, 与朴素的$O(N)$相比效率有了极大的提高。

原理

来自学长:

我们可以把 $b$ 分解成二进制数,其中从小到大每一个二进制位
是 $b_1 ,b_2 ,...,b_{⌊\log b+1⌋}$ 。
根据二进制转十进制的原理,$b$ 的十进制表示是可以通过
$b_1 ,b_2 ,...,b_{⌊\log b+1⌋}$ 的值在 $O(\log n)$ 的时间内解出的。
这就启发了我们可以用同样的方法去算 $a^b$ 。

计算$a$的$b$次幂$a^b$,如果$a$为偶数显然有$a^b=(a^{\frac{b}{2}})^2$,也就是说我们仅需要计算其$b/2$幂,然后平方即可,如果n为奇数可以写成$a^b=a\times (a^{\frac{b-1}{2}})^2$,该方法可以迭代的进行,大大降低了计算所需的时间。

由于算出的数可能特别大,所以通常会在计算过程中对一个数取模,保证了不会爆掉,这样的运算叫做快速幂取余运算

代码实现

代码实现比较简洁,用上位运算速度还会快些,写的时候最好都用long long来写,不然有可能爆$int$

#define ll long long
ll power(ll a,ll b,ll c){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1)//判断二进制最后一位是否为1
            res=res*a%c;
        a=a*a%c;
        b>>=1;//每次除以2
    }
    return res%c;
}

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转载自www.cnblogs.com/loceaner/p/10884624.html
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