2400专项：E. Knapsack（思维dp 大背包）

原题： http://codeforces.com/contest/1132/problem/E

题意： 有 $a_1$个1， $a_2$个2…… $a_8$个8，问大小为 $W$背包可以装下的最大 $siz$。 $a_i<1e16$， $W<1e18$

解析：

虽然每个数的数量很大，但是局限于只有8种数，所以组合的重复率会很高。

怎么说？1到8的LCM为840，当2的数量大于等于420时，我们只需要记录下1，8的数量大于等于120时，也记录下1。这个1可以在不同的方案中起到相同的作用。

再想一下，420个2可以记录下来，但是419个2和1个3能不能记录下1，再转移到状态1呢？显然不行。之前记录下1是因为状态 $X$可以通过加减 $420$个 $2$来转移到相邻的状态 $X$，而419个2和1个3就不行。

如果用 $dp[i][j]$表示到了第 $i$个数，状态为 $j$时的最大840个数。那么通过上面的结果可以得出：（共 $v$个 $i$，选出 $k$个 $i$） $dp[i-1][j]+(v-k)/(840/i))\to dp[i][j+k*i]$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
LL dp[10][10000];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    LL w;cin>>w;
    LL v;
    memset(dp,0xc0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=0;
    LL ma=8*840;
    for(LL i=1;i<=8;i++){
        cin>>v;
        for(LL j=0;j<ma;j++){
            for(LL k=min((840/i)-1ll,v);k>=0;k--){
                if(dp[i-1][j]>=0)
                    dp[i][j+k*i]=max(dp[i][j+k*i],dp[i-1][j]+(v-k)/(840/i));
            }
        }
    }

    LL ans=-1;
    for(LL i=0;i<min(ma,w+1);i++){
        if(dp[8][i]>=0)
            ans=max(ans,i+840*min(dp[8][i],w>=i?(w-i)/840:0));
    }
    cout<<ans<<endl;
}