最长回文子串的三种解法

一、动态规划

为了改进暴力法,我们首先观察如何避免在验证回文时进行不必要的重复计算。考虑 “ababa” 这个示例。如果我们已经知道 “bab” 是回文,那么很明显,“ababa” 一定是回文,因为它的左首字母和右尾字母是相同的。
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public String longestPalindrome(String s) {
        int n = s.length();
        if(n==0){
            return "";
        }
        boolean[][] isPalidrome = new boolean[n][n];
        int max = 1;
        int start = 0;
        int end = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (i == j)
                    isPalidrome[i][j] = true;
            }
        }
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            if (s.charAt(i) == s.charAt(i + 1)) {
                isPalidrome[i][i + 1] = true;
            }
        }
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = n - 1; j > i; j--) {
                if (j > i + 1) {
                    isPalidrome[i][j] = isPalidrome[i + 1][j - 1] && (s.charAt(i) == s.charAt(j));
                }
                if (max < j - i + 1 && isPalidrome[i][j]) {
                    start = i;
                    end = j;
                    max = j - i + 1;
                }
            }
        }
        return s.substring(start, end + 1);
    }

二、中心扩展算法

在这里插入图片描述
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public String longestPalindrome(String s) {
    if (s == null || s.length() < 1) return "";
    int start = 0, end = 0;
    for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
        int len1 = expandAroundCenter(s, i, i);
        int len2 = expandAroundCenter(s, i, i + 1);
        int len = Math.max(len1, len2);
        if (len > end - start + 1) {
            start = i - (len - 1) / 2;
            end = i + len / 2;
        }
    }
    return s.substring(start, end + 1);
}

private int expandAroundCenter(String s, int left, int right) {
    int L = left, R = right;
    while (L >= 0 && R < s.length() && s.charAt(L) == s.charAt(R)) {
        L--;
        R++;
    }
    return R - L - 1;
}

三、Manacher 算法

时间复杂度: O(n)
空间复杂度: O(n)
预处理:统一奇数、偶数字符串,在每两个字符串之间添加“#”,并在第一个字符前和最后一个字符后添加“#”,这样所有的字符串都是奇数的。比如“abc”被填充为“#a#b#c#”,“ab”被填充为“#a#b#”,这样做的好处是以每一位为中心的回文串都是奇数,这样就统一起来了,不用繁琐地讨论不同情况。
算法思想:用一个数组来记录字符串每一位为中心的回文串长度半径(向下取整,比如以某个字符为中心的回文串长度为3,则其半径为3/2=1,如果回文串长度为1,则其半径为1/2=0),问题就是怎么计算这个数组。
考虑以下字符串,假设我们已经求得了前五位的值,要开始求第6-9位的值:
cabadabae
已知第3位为中心的aba和第5位为中心的abadaba是回文串,则可以推断出以6-8为肯定是回文串,即以第7位为中心的回文串长度至少是3,但我们无法确定它是否比3还大。但是我们可以肯定地说,以第6位为中心的回文串长度肯定是1,因为我们已经知道了以第4位为中心的回文串长度为1,以第5位为中心的abadaba是回文串。问题的关键就是以第5位为中心的回文串,它向右延伸到了第8位(右边界为第8位),我们推断第6位的情况时,6+1/2=6<8,在边界内,所以可以肯定地确定;而推断第7位的情况时,7+3/2=8,已经在边界上了,因此无法确定,万一第九位是d,那么以第7位为中心的回文串长度就是5了。在这种情况下我们就要继续中心扩展第七位,并且更新右边界。
因此,这个算法要不就是在扩展右边界,要不就是直接求出了这一位的回文串长度。

public String longestPalindrome(String s) {
        if(s.length()==0){
            return "";
        }
        StringBuilder sb=new StringBuilder();
        sb.append(' ');
        for(int i=0;i<s.length();i++){
            sb.append(s.charAt(i));
            sb.append(' ');
        }
        s=sb.toString();
        int len=s.length();
        //右边界
        int rightSide=0;
        //右边界对应的回文串中心
        int rightSideCenter=0;
        //保存每个字符为中心的回文长度一半(向下取整)
        int[] halfLenArr=new int[len];
        //记录回文中心
        int center=0;
        //记录最长回文长度
        int longestHalf=0;
        for(int i=0;i<len;i++){
            //是否需要中心扩展
            boolean needCalc=true;
            if(rightSide>i){
                //计算相对rightSideCenter的对称位置
                int leftCenter=2*rightSideCenter-i;
                halfLenArr[i]=halfLenArr[leftCenter];
                if (i+halfLenArr[i]>=rightSide){
                    halfLenArr[i]=rightSide-i;
                }
                if(i+halfLenArr[leftCenter]<rightSide){
                    needCalc=false;
                }
            }
            if(needCalc){
                while(i-1-halfLenArr[i]>=0&&i+1+halfLenArr[i]<len){
                    if(s.charAt(i+1+halfLenArr[i])==s.charAt(i-1-halfLenArr[i])){
                        halfLenArr[i]++;
                    }else{
                        break;
                    }
                }
                rightSide=i+halfLenArr[i];
                rightSideCenter=i;
                if(halfLenArr[i]>longestHalf){
                    center=i;
                    longestHalf=halfLenArr[i];
                }
            }
        }
        StringBuilder str=new StringBuilder();
        for(int i=center-longestHalf+1;i<=center+longestHalf;i+=2){
            str.append(s.charAt(i));
        }
        return str.toString();
    }

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