普林斯顿微积分读本（修订版）

编辑推荐

对于大多数学生来说，微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且很受挫折的一门课程了。本书不仅让学生们能有效地学习微积分，更重要的是提供了战胜微积分的可靠工具。

本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安 · 班纳教授的微积分复习课程，他激励了一些考试前想获得成功但考试结果却平平的学生。

作者班纳是美国普林斯顿大学的知名数学教授，并担任新技术研究中心主任。他的授课风格非正式、有吸引力并完全不强求，甚至在不失其详尽性的基础上又增添了许多娱乐性，而且他不会跳过讨论一个问题的任何步骤。

这本经典著作将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在一起。对于每一个想要掌握微积分的人来说，本书都是极好的资源。当然，非数学专业的学生也将大大受益。

内容简介

本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧，目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容，还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书，也可以作为教材，定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

媒体推荐

对于学习微积分有困难的同学来说，这是一本难能可贵的参考书。

——《数学教师》杂志

班纳的写作风格引人入胜，一点儿也不古板或令人生畏，他努力阐释解题的所有步骤。因其独到的讲解，本书成为了广大微积分教师的“得力助手”。

——《美国数学月刊》网络版

本书语言平实，亲和力十足，是广大微积分学习者的良师益友。班纳的书写得非常到位，而且非常吸引读者。

——Gerald B. Folland，《高等微积分》作者

作者简介

阿德里安 · 班纳（Adrian Banner），澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士，普里斯顿大学数学博士。2002 年起任职于 INTECH 公司，现为 INTECH 公司首席执行官兼首席投资官。同时，他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。

本书内容

译者序

对于大多数学生来说, 微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且最受挫折的一门课程了. 而本书, 不仅让学生能有效地学习微积分, 更重要的是提供了战胜微积分的必备工具.

本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安 · 班纳的微积分复习课程. 他激励了一些考试前想获得优秀但考试结果却平平的学生.

对于任何单变量微积分的课程, 本书既可以作为教科书, 也可以用作学习指南, 对于全英文授课的教师来说更是一个得力助手. 作者班纳是美国普林斯顿大学的著名数学教授并担任新技术研究中心主任. 班纳教授的授课风格是非正式、有吸引力并完全不强求的, 甚至在不失其详尽性的基础上又增添了许多娱乐性, 而且他不会跳过讨论一个问题的任何步骤.

作者独创的“内心独白”方式, 即写出问题求解过程中学生们应遵循的思考过程, 为我们提供了不可或缺的推理过程以及求解方案. 本书的重点在于培养问题求解的能力, 其中涉及的例题从简单到复杂并对微积分理论进行了深入探讨. 读者会在非正式的对话语境中体会到微积分的无穷魅力.

本书特点：

可作为任何单变量微积分教科书的学习指南;
非正式的、娱乐性的且非强求的对话语境风格;
丰富的在线视频;
大量精选例题 (从简单到复杂) 提供了一步一步的推理过程;
定理和方法有证明, 还有诸多实际应用;
详细探讨了诸如无穷级数这样的难点问题.

这样的一本经典著作将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在一起. 对于每一个想要掌握微积分的学生来说, 本书都是极好的资源. 当然, 非数学专业的学生也将大大受益.

在翻译本书的过程中, 译者虽然尽最大努力尊重原文, 并尽可能避免直译产生的歧义, 但是由于才疏学浅, 难免存在翻译不当之处, 敬请广大读者批评指正, 以便再版时更正．

本书能得以顺利出版, 首先要感谢人民邮电出版社图灵公司的大力支持; 同时, 首都经济贸易大学华侨学院信管系的全体教师也给予了无私的帮助, 在此一并表示衷心感谢. 最后感谢我的家人在本书翻译过程中所给予的支持与鼓励, 尤其是爱女芮绮!

《普林斯顿微积分读本》
微笑着面对数学的世界
积累着超越无穷的力量
分化出化解疑难的翅膀
求解出优化问题的阳光
生成了数学天空的晴朗
秘籍 —— 放飞自己的理想

谨以此诗献给爱女芮绮以及喜爱数学的新生代!

　杨爽

首都经济贸易大学华侨学院信管系

前言

本书旨在帮助你学习单变量微积分的主要概念, 同时也致力于教会你求解问题的技巧. 无论你是第一次接触微积分, 还是为了准备一次测验, 或是已经学过微积分还想再温习一遍, 我都希望本书能够对你有所帮助.

写作本书的灵感来自我在普林斯顿大学的学生们. 他们在过去的几年里发现, 与课堂授课、作业讲解以及他们的教科书一样, 本书的初稿是很有帮助的学习指南. 以下是他们在学习过程中提出的一些你可能也想问的问题.

这本书为什么这么厚？　我是假设你真的想要掌握这门课程, 而不只是想囫囵吞枣, 一知半解, 所以你已经准备好投入一些时间和精力, 去阅读并理解这些详尽的阐述.

阅读之前, 我需要知道些什么？　你需要了解一些基本的代数知识, 并且要知道如何求解简单的方程式. 本书的前两章涵盖了你所需要的大部分的微积分预备知识.

啊! 下周就要期末考试了, 我还什么都不知道呢! 从哪里开始啊？　接下来的几页就会介绍如何使用本书来备考.

例题的求解过程在哪里？我所看到的只是大量的文字与少量的公式.　首先, 看一个求解过程并不能教会你应该怎样思考. 所以我通常试图给出一种“内心独白”, 即当你尝试求解问题的时候, 脑海中应该经历怎样的思考过程. 最后, 你想到了求解问题的所有知识点, 但仍然需要用正确的方式把它们全部写出来. 我的建议是, 先看懂并理解问题的求解方法, 然后再返回来尝试自己解答.

定理的证明哪儿去了？　本书中的大部分定理都以某种方式被验证了. 在附录 A 中可以找到更多正式的证明过程.

主题没有次序! 我该怎么办呢？　学习微积分没有什么标准次序. 我选择的顺序是有效的, 但你可能还得通过搜索目录来查找你需要的主题, 其余的可以先忽略. 我也可能遗漏了一些主题. 为什么不尝试给我发送电子邮件呢? 地址是 [email protected]. 你一定想不到, 我可能会为你写一个附加章节 (也为下一版写, 如果有的话!).

你使用的一些方法和我学到的不一样. 到底谁的正确, 我的任课老师的还是你的？　希望我们都没错! 如果还有疑问, 就请教你的任课老师什么是对的吧.

页边空白处怎么没有微积分的历史和有趣的史实呢？　本书中有一点微积分历史内容, 但不在这里过多分散我们的注意力. 如果你想记下这些历史内容, 就请阅读一本关于微积分历史的书^[1]吧, 那才更有趣, 而且比零零散散的几句话更值得关注.

我们学校可以用这本书作为教材吗？　这本书配有很好的习题集, 可以作为一本教材, 也可以用作一本学习指南. 你的任课老师也会发现这本书很有助于备课, 特别是在问题求解的技巧方面.

这些录像是什么？　在网站 www.calclifesaver.com 上, 你可以找到我过去复习课的录像, 其中涉及了很多 (但不是全部) 本书的章节和例题.

如何使用这本书备考

如果你快要参加考试了, 那么发挥本书效用的机会就来了. 我很同情你的处境, 因为你没有时间阅读整本书的内容! 但是你不用担心, 后面的那张表会标出本书的要章节, 来帮助你备考. 此外, 纵观整本书, 下列图标会出现在书中页边空白处, 让你快速识别什么是重要内容.

例题求解过程始于此行.
这里非常重要.
你应当自己尝试解答本题.
注意：这部分内容大多是为感兴趣的读者准备的. 如果时间有限, 就请跳到下一节.

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两个通用的学习小贴士

把你自己总结的所有重要的知识点和公式都写出来, 以便记忆. 虽说数学不死记硬背, 但也有一些关键的公式和方法, 最好是你能自己写得出来. 好记性不如烂笔头嘛! 通常来说, 做总结足以巩固和加强你对所学知识的理. 这也是我没有在每一章的结尾部分做要点总结的主要原因. 如果你自己做, 那将会更有价值.
尝试自己做一些类似的考试题, 比如你们学校以前的期末试题, 并在恰当的条件下进行测验. 这将意味着遵守不间断, 不吃饭, 不看书, 不打手机, 不发电子邮件, 不发信息等诸如此类的考试规则. 完成之后, 再看看你是否可以到一套标准答案来评阅试卷, 或请人帮你评阅.

考试复习的重要章节 (按主题划分)

主题	子主题	节
微积分基础	直线其他常用图像三角学基础 [0, π/2] 以外的三角函数三角函数的图像三角恒等式指数函数与对数函数	1:5 1:6 2:1 2:2 2:3 2:4 9:1
极限	三明治定理多项式的极限导数伪装的极限三角函数的极限指数函数与对数函数的极限洛必达法则极限问题的总结	3:6 第 4 章全部 6:5 7.1(跳过 7.1.5) 9:4 14:1 14:2
连续性	定义介值定理	5:1 5:1:4
微分	定义求导法则(例如, 乘积法则/商法则/ 链式求导法则) 求切线方程分段函数的导数画导函数图像三角函数的导数隐函数求导指数函数与对数函数求导取对数求导法双曲函数反函数反三角函数反双曲函数求导定积分	6:1 <1> 6:2 6:3 6:6 6:7 7:2; 7:2:1 8:1 9:3 9:5 9:7 10:1 10:2 10:3 17:5
导数的应用	相关变化率指数增长与指数衰变求全局最大值与全局最小值罗尔定理/中值定理临界点的分类求拐点画图最优化线性化/微分牛顿法	8:2 9:6 11:1:3 11:2; 11:3 11:5; 12:1:1 11:4; 12:1:2 12:2; 12:3 13:1 13:2 13:3
积分	定义基本性质求面积估算积分平均值/中值定理基本例子换元法分部积分法部分分式三角函数的积分三角换元法积分技巧的总结	16.2(跳过 16.2.1) 16:3 16:4 16.5, 附录 B 16:6 17:4; 17:6 18:1 18:2 18:3 19:1; 19:2 19.3(跳过 19.3.6) 19:4
运动	速度与加速度负常数加速度简谐运动求位移	6:4 6:4:1 7:2:2 16:1:1
反常积分	基本知识求解技巧	20:1; 20:2 第 21 章全部
无穷级数	基本知识求解技巧	22:1:2; 22:2 第 23 章全部
泰勒级数与幂级数	估算和误差估算幂级数/泰勒级数问题	第 25 章全部第 26 章全部
微分方程	可分一阶一阶线性常系数建模	30:2 30:3 30:4 30:5
其他话题	参数方程极坐标复数体积弧长表面积	27:1 27:2 28:1 ~ 28:5 29:1; 29:2 29:3 29:4

除非特殊说明, 标明“节”的一栏包括其下所有小节. 例如, 6.2 节包括从 6.2.1 到 6.2.7 的所有小节.

[1] 对微积分历史感兴趣的读者, 可参阅《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》(人民邮电出版社, 2010). —— 编者注

致谢

感谢所有在我写作本书过程中给予我支持和帮助的人. 我的学生们长久以来在给我教益、喜悦和快乐, 他们的意见使我受益匪浅. 特别感谢我的编辑 Vickie Kearn、制作编辑 Linny Schenck 和设计师 Lorraine Doneker, 感谢他们对我的所有帮助和支持, 还要感谢 Gerald Folland, 他的很多真知灼见对本书的改善有很大的贡献. 此外, 感谢 Ed Nelson、Maria Klawe、Christine Miranda、Lior Braunstein、Emily Sands、Jamaal Clue、Alison Ralph、Marcher Thompson、Ioannis Avramides、Kristen Molloy、Dave Uppal、Nwanneka Onvekwusi、Ellen Zuckerman、Charles MacCluer 和 Gary Slezak, 本书中的很多修正都得益于他们的意见和建议.

感谢下列普林斯顿大学数学系的教员和工作人员对我的大力支持：Eli Stein、Simon Kochen、Matthew Ferszt 和 Cott Kenny. 我也要感谢我在 INTECH 的同事们给予的支持, 特别是 Bob Fernholz、Camm Maguire、Marie D'Albero 和 Vassilios Papathanakos, 他们提出了一些优秀的审读建议. 我还要感谢我高二、高三的数学老师 ——William Pender, 他绝对是世界上最好的微积分老师. 这本书中很多方法都是从他的教学中获得了启发. 我希望他能原谅我曲线不画箭头, 所有的坐标轴上没有标注, 以及在每一个 +C 后都没有写 “对于任意一个常数 C”.

我的朋友和家人都给了我无私的支持, 尤其是我的父母 Freda 和 Michael、姐姐 Carly、祖母 Rena, 还有姻亲 Marianna 和 Michael. 最后, 我要特别感谢我的妻子 Amy 在我写书过程中对我的帮助和理解, 她总是陪伴在我身边. (还要感谢她为我画的 “爬山者图标”.)

第 1 章　函数、图像和直线

不借助函数却想去做微积分, 这无疑会是你所能做的最无意义的事情之一. 如果微积分也有其营养成分表, 那么函数肯定会排在最前面, 而且是占一定优势. 因此, 本书的前两章旨在让你温习函数的主要性质. 本章包含对下列主题的回顾：

函数, 其定义域、上域、值域和垂线检验;
反函数和水平线检验;
函数的复合;
奇函数与偶函数;
线性函数和多项式的图像, 以及对有理函数、指数函数和对数函数图像的简单回顾;
如何处理绝对值.

下一章会涉及三角函数. 好啦, 就让我们开始吧, 一起来回顾一下到底什么是函数.

1.1　函数

函数是将一个对象转化为另一个对象的规则. 起始对象称为输入, 来自称为定义域的集合. 返回对象称为输出, 来自称为上域的集合.

来看一些函数的例子吧.

假设你写出 f (x) = x², 这就定义了一个函数 f , 它会将任何数变为自己的平方. 由于你没有说明其定义域或上域, 我们不妨假设它们都属于 $\mathbb{R}$ , 即所有实数的集合. 这样, 你就可以将任何实数平方, 并得到一个实数. 例如, f 将 2 变为 4、将 -1/2 变为 1/4, 将 1 变为 1. 最后一个变换根本没有什么变化, 但这没问题, 因为转变后的对象不需要有别于原始对象. 当你写出 f (2) = 4 的时候, 这实际上意味着 f 将 2 变为 4. 顺便要说的是, f 是一个变换规则, 而 f (x) 是把这个变换规则应用于变量 x 后得到的结果. 因此, 说 “f (x) 是一个函数” 是不正确的, 应该说 “f 是一个函数”.
现在, 令 g (x) = x², 其定义域仅包含大于或等于零的数 (这样的数称为非负的).它看上去好像和函数 f 是一样的, 但它们实际不同, 因为各自的定义域不同. 例如, f (-1/2) = 1/4, 但 g (-1/2) 却是没有定义的. 函数 g 会拒绝非其定义域中的一切. 由于 g 和 f 有相同的规则, 但 g 的定义域小于 f 的定义域, 因而我们说 g 是由限制 f 的定义域产生的.
仍然令 f (x) = x², f (马) 会是什么呢？这显然是无定义的, 因为你不能平方一匹马呀. 另一方面, 让我们指定 “h (x) = x 的腿的数目”, 其中 h 的定义域是所有动物的集合. 这样一来, 我们就会得到 h (马) = 4, h (蚂蚁) = 6, h (鲑鱼) = 0. 因为动物腿的数目不会是负数或者分数, 所以 h 的上域可以是所有非负整数的集合. 顺便问一下, h (2) 会是什么呢？当然, 这也是没有定义的, 因为 2 不在 h 的定义域中. “2”究竟会有几条腿呢？这个问题实际上没有任何意义. 你或许也可以认为 h (椅子) = 4, 因为多数椅子都有四条腿, 但这也没有意义, 因为椅子不是动物, 所以 “椅子” 不在 h 的定义域中. 也就是说, h (椅子) 是没有定义的.
假设你有一条狗, 它叫 Junkster. 可怜的 Junkster 不幸患有消化不良症. 它吃点东西, 嚼一会儿, 试图消化食物, 可每次都失败, 都会吐出来. Junkster 将食物变成了 …… 我们可以令 “j (x) = Junkster 吃 x 时呕吐物的颜色”, 其中 j 的定义域是 Junkster 所吃的食物的集合, 其上域是所有颜色的集合. 为了使之有效, 我们必须认为如果 Junkster 吃了玉米面卷, 它的呕吐物始终是一种颜色 (假设是红色的吧). 如果有时候是红色的, 而有时候是绿色的, 那就不太好了. 一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出.

现在我们要来看看函数值域的概念. 值域是所有可能的输出所组成的集合. 你可以认为函数转变其定义域中的一切, 每次转变一个对象; 转变后的对象所组成的集合称作值域. 可能会有重复, 但这也没什么.

那么, 为什么值域和上域不是一回事呢？值域实际上是上域的一个子集. 上域是可能输出的集合, 而值域则是实际输出的集合. 下面给出上述函数的值域.

如果 f (x) = x², 其定义域和上域均为 $\mathbb{R}$ , 那么其值域是非负数的集合. 毕竟, 平方一个数, 其结果不可能是负数. 那你又如何知道值域是所有的非负数呢？其实, 如果平方每一个数, 结果一定包括所有的非负数. 例如, 平方 $\sqrt2$ (或 $-\sqrt2$ ), 结果都是 2.
如果 g (x) = x², 其定义域仅为非负数, 但其上域仍是所有实数 $\mathbb{R}$ , 那么其值域还是非负数的集合. 当平方每一个非负数时, 结果仍然会包括所有的非负数.
如果 h (x) 是动物 x 的腿的数目, 那么其值域就是任何动物可能会有的腿的数目的集合. 我可以想到有 0、2、4、6 和 8 条腿的动物, 以及一些有更多条腿的小动物. 如果你还想到了个别的像失去一条或多条腿的动物, 那你也可以将 1、3、5 和 7 等其他可能的数加入其值域. 不管怎样, 这个函数的值域并不是很清晰. 要想了解真实的答案, 你或许得是一位生物学家.
最后, 如果 j (x) 是 Junkster 吃 x 时呕吐物的颜色, 那么其值域就会包含所有可能的呕吐物的颜色. 我很怕去想它们会是什么样的, 但或许亮蓝色不在其中吧.

1.1.1　区间表示法

在本书剩余部分, 函数总有上域 $\mathbb{R}$ , 并且其定义域总会尽可能和 $\mathbb{R}$ 差不多 (除非另有说明). 因此, 我们会经常涉及实轴的子集, 尤其是像 {x : 2 ≤ x < 5} 这样的连通区间. 像这样写出完整的集合有点儿烦, 但总比说 “介于 2 和 5 之间的所有数, 包括 2 但不包括 5” 要强. 使用区间表示法会让我们做得更好.

我们约定, [a, b] 是指从 a 到 b 端点间的所有实数, 包括 a 和 b. 所以 [a, b] 指的是所有使得 a ≤ x ≤ b 成立的 x 的集合. 例如, [2, 5] 是所有介于 2 和 5 之间 (包括 2 和 5) 的实数的集合. (它不仅仅包括 2、3、4 和 5, 不要忘记还有一大堆处于 2 和 5 之间的分数和无理数, 比如 5/2、 $\sqrt7$ 和 π.)像 [a, b] 这种形式表示的区间我们称作闭区间.

如果你不想包括端点, 把方括号变为圆括号就行了. 所以 (a, b) 指的是介于 a 和 b 之间但不包括 a 和 b 的所有实数的集合. 这样, 如果 x 在区间 (a, b) 中, 我们就知道 a < x < b. 集合 (2, 5) 表示介于 2 和 5 之间但不包括 2 和 5 的所有实数的集合. 像 (a, b) 这种形式表示的区间称作开区间.

你也可以混和匹配：[a, b) 指的是介于 a 和 b 之间、包括 a 但不包括 b 的所有实数的集合; (a, b] 包括 b, 但不包括 a. 这些区间在一个端点处是闭的, 而在另一个端点处是开的. 有时候, 像这样的区间称作半开区间. 上述的 {x : 2 ≤ x < 5} 就是一个例子, 也可以写成 [2, 5).

还有一个有用的记号就是 (a, ∞), 它是指大于 a 但不包括 a 的所有数; [a, ∞) 也一样, 只是它包括 a. 此外还有三个涉及 -∞ 的可能性. 总而言之, 各种情况如下.

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1.1.2　求定义域

有时候, 函数的定义中包括了定义域. (例如, 1.1 节中的函数 g 就是如此.) 然而在大多数情况下, 定义域是没有给出的. 通常的惯例是, 定义域包括实数集尽可能多的部分. 例如 $k(x)=\sqrt x$ , 其定义域就不可能是 $\mathbb{R}$ 中的所有实数, 因为不可能得到一个负数的平方根. 其定义域一定是 [0, ∞), 就是大于或等于 0 的所有实数的集合.

好了, 我们知道取负数的平方根会出问题. 那么还有什么会把问题搞糟呢？以下是三种最常见的情况.

(1) 分数的分母不能是零.

(2) 不能取一个负数的平方根 (或四次根, 六次根, 等等).

(3) 不能取一个负数或零的对数. (还记得对数函数吗？若忘了, 请看看第 9 章!)

或许你还记得 tan(90°) 也是一个问题, 但这实际上是上述第一种情况的特例. 你看,

$\tan(90\degree)=\frac{\sin(90\degree)}{\cos(90\degree)}=\frac{1}{0},$

tan(90°) 之所以是无定义的, 实际上是因为其隐藏的分母为零. 这里还有一个例子：如果定义

$f(x)=\frac{\log_{10}(x+8)\sqrt{26-2x}}{(x-2)(x+19)},$

那么 f 的定义域是什么呢？当然, 为了使 f (x) 有意义, 以下是我们必须要做的.

取 (26 - 2x) 的平方根, 所以这个量必须是非负的. 也就是说, 26 - 2x ≥ 0. 这可以写成 x ≤ 13.
取 (x + 8) 的对数, 所以这个量必须是正的. (注意对数和平方根的区别：可以取 0 的平方根, 但不能取 0 的对数.) 不管怎么说, 我们需要 x + 8 > 0, 所以 x > -8. 到现在为止, 我们知道 -8 < x ≤ 13, 所以其定义域最多是 (-8, 13].
分母不能为 0, 这就是说 (x - 2) ≠ 0 且 (x + 19) ≠ 0. 换句话说, x ≠ 2 且 x ≠ -19. 最后一个条件不是问题, 因为我们已经知道 x 处于 (-8, 13] 内, 所以 x 不可能是 -19. 不过, 我们确实应该把 2 去掉.

这样就找到了其定义域是除了 2 以外的集合 (-8, 13]. 这个集合可以写作 (-8, 13] \ {2}, 这里的反斜杠表示 “不包括”.

1.1.3　利用图像求值域

让我们来定义一个新的函数 F , 指定其定义域为 [-2, 1], 并且 F (x) = x² 在此定义域上. (记住, 我们看到的任何函数的上域总是所有实数的集合.) 同时又是对于所有的实数 x, f (x) = x². 那么 F 和 f 是同一个函数吗？回答是否定的, 因为两个函数的定义域不相同 (尽管它们有相同的函数规则). 正如 1.1 节中的函数 g, 函数 F 是由限制 f 的定义域得到的.

现在, F 的值域又是什么呢？如果你将 -2 到 1 之间 (包括 -2 和 1) 的每一个实数平方的话, 会发生什么呢？你应该有能力直接求解, 但这是观察如何利用图像来求一个函数的值域的很好机会. 基本思想是, 画出函数图像, 然后想象从图像的左边和右边很远的地方朝向 y 轴水平地射入两束亮光. 曲线会在 y 轴上有两个影子, 一个在 y 轴的左侧, 另一个在 y 轴的右侧. 值域就是影子的并集; 也就是说, 如果 y 轴上的任意一点落在左侧或右侧的影子里, 那么它处于函数的值域中. 我们以函数 F 为例来看一下这是怎么运作的吧.

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图　1-1

图 1-1 中左侧的影子覆盖了 y 轴从 0 到 4 (包括 0 和 4) 的所有点, 也就是 [0, 4]; 另一方面, 右侧的影子覆盖了从 0 到 1 (包括 0 和 1)的所有点, 也就是 [0, 1]. 右侧的影子没有贡献更多, 全部的覆盖范围仍然是 [0, 4]. 这就是函数 F 的值域.

1.1.4　垂线检验

在上一节中, 我们利用一个函数的图像来求其值域. 函数的图像非常重要：它真正地展示了函数 “看起来是什么样子的”. 在第 12 章, 我们将会看到绘制函数图像的各种技巧, 但现在, 我很想提醒你注意的是垂线检验.

你可以在坐标平面上画任何你想画的图形, 但结果可能不是一个函数的图像. 那么函数的图像有什么特别之处呢？或者说, 什么是函数 f 的图像呢？它是所有坐标为 (x, f (x)) 的点的集合, 其中 x 在 f 的定义域中. 还有另外一种方式来看待它. 我们以某个实数 x 开始. 如果 x 在定义域中, 你就画点 (x, f (x)), 当然这个点在 x 轴上的点 x 的正上方, 高度为 f (x). 如果 x 没有在定义域中, 你不能画任何点. 现在, 对于每一个实数 x, 我们重复这个过程, 从而构造出函数的图像.

这里的关键思想是, 你不可能有两个点有相同的 x 坐标. 换句话说, 在图像上没有两个点会落在相对于 x 轴的同一条垂线上. 要不然, 你又将如何知道在点 x 上方的两个或多个不同高度的点中, 哪一个是对应于 f (x) 的值呢？这样就有了垂线检验：如果你有某个图像并想知道它是否是函数的图像, 你就看看是否任何的垂线和图像相交多于一次. 如果是这样的话, 那它就不是函数的图像; 反之, 如果没有一条垂线和图像相交多于一次, 那么你的确面对的是函数的图像. 例如, 以原点为中心, 半径为三个单位的圆的图像, 如图 1-2 所示.

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图　1-2

这么普通的对象应该是个函数, 对吗？不对, 让我们进行如图所示的垂线检验. 当然, 在 -3 的左边或 3 的右边都没有问题 (垂线甚至都没有击中图像), 这很好. 就连在 -3 或 3 上, 垂线和图像也仅仅有一次相交, 这也很好. 问题出在 x 落在区间 (-3, 3) 上时. 对于这其中的任意 x 值, 垂线通过 (x, 0) 和圆相交两次, 这就坏事了. 你不知道 f (x) 到底是对应上方的点还是下方的点.

最好的解决方法是把圆分成上下两个半圆, 并只选择上一半或者下一半. 整个圆的方程是 x² + y² = 9, 而上半圆的方程是 $y=\sqrt{9-x^2}$ , 下半圆的方程是 $y=-\sqrt{9-x^2}$ . 这最后两个就是函数了, 定义域都是 [-3, 3]. 你可以以不同的方式来分割. 实际上, 你不是必须要把它分成半圆 (可以分割并改变上半圆和下半圆, 只要不违反垂线检验就行了). 例如, 图 1-3 也是一个函数的图像, 其定义域也是 [-3, 3].

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图　1-3

垂线检验通过, 所以这确实是一个函数的图像.

1.2　反函数

我们假设一个函数 f , 你给了它一个输入 x. 如果 x 在 f 的定义域中, 你就能得到一个输出, 我们称它为 f (x). 现在, 我们把过程倒过来, 并问：如果你选一个实数 y, 那么应该赋予 f 什么样的输入才能得到这个输出 y 呢？

用数学语言来陈述这个问题就是：给定一个实数 y, 那么在 f 定义域中的哪个 x 满足 f (x) = y？首先要注意的是, y 必须在 f 的值域中. 否则, 根据定义, 将不再有 x 的值使得 f (x) = y 成立了. 如此在 f 定义域中将没有这样的 x 满足 f (x) = y, 因为值域是所有的可能输出.

另一方面, 如果 y 在值域当中, 也可能会有很多值都满足 f (x) = y. 例如 f (x) = x² (其定义域为 $\mathbb{R}$ ), 我们的问题是 x 取何值时会输出 64. 很显然, 有两个 x 值：8 和 -8. 另外, 如果 g (x) = x³, 对于相同的问题, 这时只有一个 x 值, 就是 4. 对于任意一个我们赋予 g 去做变换的实数, 结果都是如此, 因为任何数都只有一个 (实数) 立方根.

所以这里的情形如下：给定一个函数 f , 在 f 的值域中选择 y. 在理想状况下, 仅有一个 x 值满足 f (x) = y. 如果上述理想状况对于值域中的每一个 y 来说都成立, 那么就可以定义一个新的函数, 它将逆转变换. 从输出 y 出发, 这个新的函数发现一个且仅有一个输入 x 满足 f (x) = y. 这个新的函数称为 f 的反函数, 并写作 f ^-1. 以下是使用数学语言对上述情形的总结.

(1) 从一个函数 f 出发, 使得对于在 f 值域中的任意 y, 都只有唯一的 x 值满足 f (x)= y. 也就是说, 不同的输入对应不同的输出. 现在, 我们就来定义反函数 f ^-1.

(2) f ^-1 的定义域和 f 的值域相同.

(3) f ^-1 的值域和 f 的定义域相同.

(4) f ^-1 (y) 的值就是满足 f (x) = y 的 x. 所以,

如果 f (x) = y, 那么 f ^-1 (y) = x.

变换 f ^-1 就像是 f 的撤销按钮：如果你从 x 出发, 并通过函数 f 将它变换为 y, 那么你可以通过在 y 上的反函数 f ^-1 来撤销这个变换的效果, 取回 x.

这会引发一些问题：你如何知道只有唯一的 x 值满足 f (x) = y 呢？如果是这样, 如何求得反函数呢, 其图像又是什么样子呢？如果不是这样, 你又如何挽救这一局面呢？在接下来的三个小节中我们会对这些问题作出回答.

1.2.1　水平线检验

对于第一个问题 —— 如何知道对于 f 值域中的任意 y, 只有一个 x 值满足 f (x) = y —— 最好的方法也许是看一下函数图像. 我们想要在 f 值域中选择 y, 并且希望只有一个 x 值满足 f (x) = y. 这就意味着通过点 (0, y) 的水平线应该和图像仅有一次相交, 且交点为点 (x, y). 那个 x 就是我们想要的. 如果水平线和曲线相交多于一次, 那将会有多个可能的对应 x 值, 情况会很糟. 如果是那样, 获得反函数唯一的方法就是对定义域加以限制, 我们很快会讨论这一点. 如果水平线根本就没有和曲线相交, 会怎样呢？就是 y 根本没有在值域当中, 这样也不错.

这样一来, 就可以描述水平线检验：如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次, 那么这个函数就有一个反函数. 如果即使只有一条水平线和图像相交多于一次, 那么这个函数就没有反函数. 例如, 我们来看一下图 1-4 中 f (x) = x³ 和 g (x) = x² 的图像.

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图　1-4

没有一条水平线和 y = f (x) 相交多于一次, 所以 f 有一个反函数. 另一方面, 一些水平线和曲线 y = g (x) 相交两次, 所以 g 没有反函数. 这里的问题在于：如果通过 y = x² 来求解 x, 其中 y 为正, 那么就会出现两个解： $x=\sqrt{y}$ 和 $x=-\sqrt{y}$ . 结果你不知道该取哪一个.

1.2.2　求反函数

现在来看第二个问题：如何求得函数 f 的反函数呢？其实只需写下 y = f (x), 然后试着解出 x. 在 f (x) = x³ 的例子中, 有 y = x³, 所以 $x=\sqrt[3]{y}$ . 这就意味着, $f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$ . 如果你觉得变量 y 刺眼, 可以将它改写为 x, 写成 $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ . 当然了, 求解 x 并不总是那么简单. 事实上, 求解经常是不可能的. 另一方面, 如果你知道函数图像是什么样子的, 反函数的图像就会很容易画出来. 基本思想是, 在图像上画一条 y = x 的直线, 然后将这条直线假想为一个双面的镜子. 反函数就是原始函数的镜面反射. 如果 f (x) = x³, 那么 f ^-1 的图像如图 1-5 所示.

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图　1-5

原始函数 f 在 y = x 这面 “镜子” 中被反射, 从而得到反函数. 注意：f 和 f ^-1 的定义域和值域都是整个实轴.

1.2.3　限制定义域

最后要处理第三个问题：如果水平线检验失败因而没有反函数, 那应该怎么办呢？我们面临的问题是, 对于相同的 y 有多个 x 值. 解决此问题的唯一方法是：除了这多个 x 值中的一个, 我们放弃所有其他值. 也就是说, 必须决定要保留哪一个 x 值, 然后放弃剩余的值. 正如我们在 1.1 节中看到的, 这称为限制函数的定义域. 实质上, 我们删去部分曲线, 使得保留下来的部分能够通过水平线检验. 例如 g (x) = x², 可以删除左半边的图像, 如图 1-6 所示.

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图　1-6

这条新的 (实线的) 曲线将定义域缩减为 [0, ∞), 并且满足水平线检验, 所以它有反函数. 更确切地说, 定义在定义域 [0, ∞) 上的函数 h 有反函数, 其中 h (x) = x². 让我们用镜面反射游戏来看一下它到底是什么样子的，如图1-7 所示.

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图　1-7

为了找到反函数的方程, 我们必须在方程 y = x² 中解出 x. 很明显, 问题的解就是 $x=\sqrt{y}$ 或 $x=-\sqrt{y}$ , 但是我们需要哪一个呢？我们知道反函数的值域和原始函数的定义域是相同的, 而后者被限制为 [0, ∞), 所以我们需要一个非负的数来作为答案, 即 $x=\sqrt{y}$ . 这就是说, $h^{-1}(y)=\sqrt{y}$ . 当然, 也可以把原始图像的右半边删除, 将定义域限制为 (-∞, 0]. 在那种情况下, 我们得到一个定义域为 (-∞, 0] 的函数 j. 它也满足 j (x) = x², 但只是在这个定义域上才成立. 这个函数也有反函数, 反函数是负的平方根, 即 $j^{-1}(y)=\sqrt{y}$ .

顺便说一下, 如果你让没有通过水平线检验的、定义域为 (-∞, ∞) 的原始函数 g(x) = x² 在镜子 y = x 中反射, 那么你会得到如图 1-8 所示的图像.

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图　1-8

注意到这个图像不会通过垂线检验, 所以它不是函数的图像. 这说明了垂线检验和水平线检验之间的联系, 即水平线被镜子 y = x 反射后会变成垂线.

1.2.4　反函数的反函数

有关反函数还有一点：如果 f 有反函数, 那么对于在 f 定义域中的所有 x, f ^-1 (f (x)) = x 成立; 同样, 对于在 f 值域当中的所有 y, 都有 f (f ^-1 (y)) = y. (记得, f 的值域和 f ^-1 的定义域相同, 所以对于 f 值域中的 y, 我们确实可以取到 f ^-1 (y), 不会导致任何曲解. )

例如 f (x) = x³, f 的反函数由 $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ 给出, 所以对于任意的 x, $f^{-1}(f(x))=\sqrt[3]{x^3}=x$ . 不要忘记, 反函数就像是撤销按钮. 我们使用 x 作为 f 的输入, 然后给出输出到 f ^-1; 这撤销了变换并让我们取回了 x 这个原始的数. 类似地, $f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=\bigl(\sqrt[3]{y}\bigr)^3$ . 所以, f ^-1 是 f 的反函数, 且 f 是 f ^-1 的反函数. 换句话说, 反函数的反函数就是原始函数.

不过, 对于限制定义域的情况一定要当心. 令 g (x) = x², 我们已经看到你需要对其定义域加以限制, 方能取得反函数. 设想我们把定义域限制为 [0, ∞), 但由于粗心大意而把函数继续看成是 g 而不是先前小节中那样的 h. 我们便会说 $g^{-1}(x)=\sqrt{x}$ . 如果你真要计算 g (g^-1 (x)), 你就会发现它是 $(\sqrt{x})^2$ , 即等于 x, 只要 x ≥ 0. (当然，不是这样的话, 从一开始你就无法取得平方根. )

另一方面, 如果你解出 g^-1 (g (x)), 你会得到 $\sqrt{x^2}$ , 它不是总和 x 相同. 例如, 如果 x = -2, 那么 x² = 4, $\sqrt{x^2}=\sqrt{4}=2$ . 所以一般而言, g^-1 (g (x)) = x 不成立. 这里的问题在于, -2 没有在 g 的限制定义域当中. 而且, 从技术角度而言, 你甚至不可能计算 g (-2), 因为 -2 不再属于 g 的定义域了. 我们确实应该使用 h, 而不是 g, 以便提醒自己要更加小心. 不过在实践中, 数学家们在限制定义域时经常不会改变字母! 所以把这种情形总结如下对大家是很有帮助的.

如果一个函数 f 的定义域可以被限制, 使得 f 有反函数 f ^-1, 那么

对于 f 值域中的所有 y, 都有 f (f ^-1 (y)) = y ; 但是
f ^-1 (f (x)) 可能不等于 x ; 事实上, f ^-1 (f (x)) = x 仅当 x 在限制的定义域中才成立.

在 10.2.6 节, 对于反三角函数, 我们会再次提到这些要点.

1.3　函数的复合

假设有一个表达式为 g(x) = x² 的函数 g. 你可以将 x 替换成任何使函数有意义的对象, 如 g(y) = y² 或 g(x + 5) = (x + 5)². 后一个例子需要特别注意小括号, 若写成 g(x + 5) = x + 5² 就是错的, 因为 x + 25 并不等于 (x + 5)². 所以在替换过程中如果拿不准, 可用小括号. 也就是说, 如果你需将 f (x) 写成 f (某表达式), 可将每一个 x 替换成 (某表达式), 这时一定要加小括号. 唯一不需要加小括号的情况是, 当函数是指数函数时, 如 h(x) = 3^x, 你可以写成 h(x² + 6) = 3^{x² +6}. 不需要加小括号是因为你已经将 x² + 6 写成上标了.

现在考虑定义为 f (x) = cos(x²) 的函数 f . 若给定一个数 x, 如何计算 f (x) 呢？你会首先计算 x 的平方, 然后计算平方值的余弦. 鉴于我们可将 f (x) 的计算分解成前后相继的两个独立的计算, 我们也就可以将这些计算各描述成一个函数. 因此, 令 g(x) = x², h(x) = cos(x). 为了模拟函数 f 是如何作用于输入值 x 的, 你可先将 x 输入到函数 g 进行求平方运算, 接着不必返回 g 的结果而直接让 g 将其结果作为函数 h 的输入, 然后 h 计算出一个最终的结果值, 该结果值当然是由函数 g 计算出的 x 平方值的余弦值. 这个过程恰恰模拟了 f , 故我们可以写出 f (x) = h(g(x)), 也可表示为 f = h ○ g, 这里的圈表示 “与 …… 的复合”, 即 f 是 g 与 h 的复合. 换言之, f 是 g 与 h 的复合函数. 这里需要小心的是, 我们把 h 写在 g 的前面 (像平常一样从左向右读), 但计算时我们要先从 g 开始. 我承认这确实容易让人搞混, 但我也没办法 —— 你只能试着去接受.

练习求两个或多个函数的复合是很有用的. 例如, 若 g(x) = 2^x, h(x) = 5x⁴, j(x) = 2x - 1, 则函数 f = g ○ h ○ j 的表达式是什么？我们只需从 j 开始, 将其代换到 h, 接着再将结果代换到 g, 可得

$f(x)=g(h(j(x)))=g(h(2x-1))=g(5(2x-1)^4)=2^{5(2x-1)^4}$

同样, 你需要练习该过程的逆过程. 例如, 假定你开始于函数

$f(x)=\frac{1}{\tan(5\log_2(x+3))}.$

如何将 f 分解为几个简单函数呢？从函数式中找到 x, 首先需要加 3, 所以设 g(x) = x + 3; 然后要对所得值取以 2 为底的对数, 所以令 h(x) = log₂(x); 接着需乘 5, 则设 j(x) = 5x ; 再接着要求正切值, 因此令 k(x) = tan(x); 最后要取倒数, 于是令 m(x) = 1/x. 由上, 验证下式：

$f(x)=m(k(j(h(g(x))))).$

利用复合符号, 可以写成

$f=m\circ k\circ j\circ h\circ g.$

这并不是函数 f 的唯一分解形式. 例如, 我们可以将函数 h 和 j 复合成另一个函数 n, 其中 n(x) = 5 log₂(x). 然后你应该验证一下 n = j ○ h 和

$f=m\circ k\circ n\circ g.$

或许最初 (包含 j 和 h) 的分解较好一点, 因为它将 f 分解成更多的基本形式, 但第二种 (包含 n) 也没错, 毕竟 n(x) = 5 log₂(x) 仍是关于 x 的较为简单的函数.

注意, 函数的复合并不是把它们相乘. 例如 f (x) = x² sin(x), f 不是两个函数的复合, 因为对任意给定的 x, 计算 f (x) 的值需要求解 x² 和 sin(x)(先求哪个值都没关系, 这与复合函数不同), 然后将这两个值乘起来. 若令 g(x) = x², h(x) = sin(x), 则我们可以写成 f (x) = g(x)h(x) 或 f = gh. 可将它与这两个函数的复合函数 j = g ○ h, 即

$j(x)=g(h(x))=g(\sin(x))=(\sin(x))^2$

或 j(x) = sin²(x) 比较一下. 函数 j 完全不同于乘积 x² sin(x), 它同样不同于函数 k = h ○ g. 函数 k 也是 g 和 h 的复合函数, 不过是按另一个顺序的复合：

$k(x)=h(g(x))=h(x^2)=\sin(x^2).$

k 是另一个完全不同的函数. 这个例子说明, 函数的乘积和复合是不同的, 且函数的复合与函数顺序有关系, 而函数的乘积与函数顺序无关.

复合函数另一个简单但重要的例子是, 将函数 f 和 g(x) = x - a(a 是常数) 进行复合. 对复合得到的新函数 h(x) = f (x - a), 需要关注的是新函数 y = h(x) 和函数 y = f (x) 的图像是一样的, 只不过 y = h(x) 的函数图像向右平移了 a 个单位. 如果 a 是负的, 那么就是向左平移. (一种理解方式是, 向右平移 -3 个单位与向左平移 3 个单位是一样的. ) 那么如何画 y = (x - 1)² 的图像呢？就像画 y = x² 的图像一样, 只是用 x - 1 来代替 x. 所以可将函数 y =x² 的图像向右平移 1 个单位, 如图 1-9 所示.

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图　1-9

类似地, y = (x + 2)² 的图像是将 y = x² 的图像向左平移 2 个单位, 可把 (x + 2) 理解为 (x - (-2)).

1.4　奇函数和偶函数

一些函数具有对称性, 这便于对它们进行讨论. 考虑定义为 f (x) = x² 的函数 f , 任选一个正数 (我选 3) 作用于函数 f (得到 9). 现在取该数的负值, 由我选择的数可得 -3, 将其作用于函数 f (又得到 9). 不论你选择的是几, 应该跟我一样, 两次得到了相同的值. 你可将这种现象表示为, 对所有的 x, 有 f (-x) = f (x). 也就是说, 将 x 作为 f 的输入和将 -x 作为输入, 会得到一样的结果. 注意到 g(x) = x⁴ 和 h(x) = x⁶ 同样具有这种性质. 事实上, 当 n 是偶数时 (n 可以是负数), j(x) = xⁿ 具有相同的性质. 受以上讨论的启发, 我们说, 如果对 f 定义域里的所有 x 有 f (-x) = f (x), 则 f 是偶函数. 这个等式对某些 x 值成立是不够的, 它必须对定义域里的所有 x 都成立.

现在, 我们对函数 f (x)= x³ 做相同的讨论. 选择你喜欢的任一正数 (我仍选 3) 作用于 f (得到 27). 用你选的数的负值再试一遍, 我的数的负值是 -3, 得到 -27, 你同样应该得到先前结果的负值. 可以用数学方式将其表示为 f (-x) = -f (x). 同样地, 当 n 是奇数时 (n 可以是负数), j(x) = xⁿ 具有相同的性质. 因此我们说, 当对 f 定义域内所有 x 都有 f (-x) = -f (x) 时, f 是奇函数.

一般而言, 一个函数可能是奇的, 可能是偶的, 也可能非奇非偶. 要记住这一点, 大多数函数是非奇非偶的. 另一方面, 只有一个函数是既奇又偶的, 它就是非常单调的对所有 x 都成立的 f (x) = 0(我们称之为零函数). 它为什么是唯一的既奇又偶的函数呢？我们证明一下. 若函数 f 是偶函数, 则对所有 x 有 f (-x) = f (x); 但如果同时它又是奇的, 则对所有 x 有 f (-x) = -f (x), 用第一个等式减去第二个等式, 得到 0 = 2f (x), 即 f (x) = 0, 这对所有 x 成立, 因此函数 f 一定是零函数. 另一个有用的结论是, 如果一个函数是奇的, 并且 0 在其定义域内, 则 f (0) = 0. 为什么呢？由于对定义域里的所有 x, f 都有 f (-x) = -f (x), 我们用 0 试一下. 我们得 f (-0) = f (0), 但 -0 等于 0, 因此 f (0) = -f(0), 化简得 2f (0) = 0, 即 f (0) = 0.

不论如何, 对于一个函数 f , 怎么来判定它是奇函数、偶函数或都不是呢？若是奇函数或偶函数又怎样呢？我们先来看下第二个问题, 然后再讨论第一个问题. 当知道一个函数的奇偶性之后, 一个比较好的事情就是画函数图像比较容易了. 事实上, 如果你能将这个函数的右半边图像画出来, 那么画左半边图像就是小菜一碟. 我们先讨论当 f 是偶函数时的情形. 因 f (x) = f (-x), y = f (x) 的图像在 x 和 -x 坐标上方具有相同的高度, 且对所有的 x 都成立, 如图 1-10 所示.

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图　1-10

我们得到这样的结论：偶函数的图像关于 y 轴具有镜面对称性. 所以当你画出偶函数的右半边图像后, 就可以通过将其图像关于 y 轴反射得到它的左半边图像. 不妨用 y = x² 的图像检验一下它的镜面对称性.

另一方面, 假设 f 是奇函数. 因 f (-x) = -f(x), y = f (x) 图像在 x 坐标上方和 -x 坐标下方具有相同的高度. (当然, 若 f (x) 是负的, 你可以调换一下 “上方” 和 “下方” 两个词.) 不论如何, 其图像如图 1-11 所示.

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图　1-11

现在的对称性是关于原点的点对称, 即奇函数的图像关于原点有 180° 的点对称性. 这就意味着, 如果你只有奇函数的右半边图像, 你可按下面的方法得到其左半边的图像. 想象该曲线是浮在纸面上, 你能够把它拿起来但不能改变它的形状. 不过, 你没有把它拿起来, 而是用大头针在原点处把曲线钉住 (回想一下, 奇函数若在 0 处有定义, 它必定通过原点), 然后将整个曲线旋转半圈, 这样就得到左半边图像的样子了. (如果曲线是不连续的, 即不是连在一起的一条, 这个方法就不那么好用了.) 可验证一下, 上面的图像和函数 y = x³ 的图像都具有这样的对称性.

现在假设 f 定义为 f (x) = log₅(2x⁶ - 6x² + 3), 你怎么确定 f 是奇函数、偶函数, 还是都不是呢？方法就是, 将每个 x 替换为 (-x) 并计算 f (-x), 一定要记着给 -x 加上小括号, 然后化简结果. 如果你得出了原始表达式 f (x), f 就是偶的; 如果得到原始表达式的负值 -f (x), f 就是奇的; 如果得到的结果一团糟, 既不是 f (x) 也不是 =f (x), 则 f 就非奇非偶 (或之前的化简不充分). 由上例, 可得

$f(-x)=\log_5(2(-x)^6-6(-x)^2+3)=\log_5(2x^6-6x^2+3),$

本式实际上等于 f (x) 本身, 因此函数 f 是偶的. 那函数

$g(x)=\frac{2x^3+x}{3x^2+5}$ 和 $h(x)=\frac{2x^3+x-1}{3x^2+5}$

的奇偶性又如何呢？对函数 g, 我们有

$g(-x)=\frac{2(-x)^3+(-x)}{3(-x)^2+5}=\frac{-2x^3-x}{3x^2+5}.$

现在可把负号提到前面来, 得到

$g(-x)=\frac{2x^3+x}{3x^2+5},$

注意到结果等于 -g (x), 即除了负号以外, 剩下部分就是原始函数, 因此 g 是奇函数. 那函数 h 呢？我们有

$h(-x)=\frac{2(-x)^3+(-x)-1}{3(-x)^2+5}=\frac{-2x^3-x-1}{3x^2+5}.$

我们再次把负号提到前面来, 得到

$h(-x)=\frac{2x^3+x+1}{3x^2+5}.$

嗯, 看起来这不是原始函数的负值, 因为分子上有个+1. 它也不是原始函数本身, 所以函数 h 是非奇非偶的.

我们再看一个例子. 若想证明两个奇函数之积是偶函数, 该怎么做呢？先给事物命名比较利于讨论, 我们就定义有两个奇函数 f 和 g. 我们需要看一下它们的乘积, 因此定义它们的积为 h, 即定义了 h(x) = f (x)g(x), 而我们的任务是要证明 h 是偶的. 像往常一样, 我们需要证明 h(-x) = h(x). 因 f 和 g 都是奇的, 注意到 f (-x) = -f (x), g(-x) = -g(x) 会有所帮助. 我们从 h(-x) 开始. 由于 h 是 f 和 g 的乘积, 有 h(-x) = f (-x)g(-x). 再利用 f 和 g 的奇函数性质将等式右边表示为 (-f (x))(-g (x)), 负号提到前面消掉, 由此得到 f (x)g(x), 而它当然等于 h(x). 我们可以 (也应该) 把上述过程用数学式表示为

$h(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x)=h(x).$

总之, 由 h(-x) = h(x) 可得函数 h 是偶函数. 现在你应该可以证明两偶函数之积仍为偶函数, 奇函数和偶函数之积是奇函数. 马上试一下吧!

1.5　线性函数的图像

形如 f (x) = mx + b 的函数叫作线性函数. 如此命名原因很简单, 因为它们的图像是直线. 直线的斜率是 m. 设想一下, 此时此刻你就在这页纸中, 这条直线就像是座山, 你从左向右开始登山, 如图 1-12 所示.

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图　1-12

如果像上图一样, 斜率 m 为正数, 那么你正在上山. m 越大, 这段上坡就越陡. 相反, 如果 m 为负数, 那么你正在下山. m 的数值越小 (即绝对值越大), 这段下坡也就越陡. 如果斜率为 0, 这段山路就是水平的, 你既不在上山, 也不在下山, 仅仅是在沿一条水平直线前行.

你仅仅需要确认两个点, 就可以画出线性函数的图像, 因为两点确定一条直线. 你所要做的就是把尺子放在这两点上, 笔轻轻一连就行了. 其中一点很容易找, 就是 y 轴的截距. 设 x = 0, 很显然 y = m × 0 + b = b. 也就是说, y 轴的截距为 b, 所以直线通过 (0, b) 这点. 我们可以通过找 x 轴的截距来找另一点, 设 y 为 0, 求 x 的值. 不过, 这种方法在两种特殊情况下不适用. 情况一：b = 0, 这时函数变为 y = mx. 直线通过原点, x 轴和 y 轴的截距都为零. 为了求得另一点, 可以把 x = 1 代入, 可得 y = m. 所以直线 y = mx 通过原点和 (1, m) 这两点. 例如, 直线 y = -2x 通过原点和 (1, -2), 如图 1-13 所示.

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图　1-13

情况二：当 m = 0, 这时函数变为 y = b, 是一条通过 (0, b) 的水平直线.

更有趣的例子, 可考虑函数 $y=\frac{1}{2}x-1$ . 很显然, y 轴截距为 -1, 斜率为1/2. 为画这条直线, 我们还需要求出 x 轴的截距. 通过设 y = 0 可以得出 $0=\frac{1}{2}x-1$ , 化简后得出 x = 2. 图像如图 1-14 所示.

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图　1-14

现在假设你知道平面上有一条直线, 但不知道它的方程. 如果你知道这条直线通过某一固定的点以及它的斜率, 那就能很容易地找到它的方程. 你真的, 真的, 真的, 很有必要去掌握这种方法, 因为它经常出现. 这个公式叫直线方程的点斜式, 其文字表达如下：

{%}

如果已知一条直线通过 (-2, 5), 斜率为 -3, 如何求它的方程？方程为 y - 5 = -3(x - (-2)), 化简后结果为 y = -3x - 1.

有时你不知道直线的斜率, 但知道它通过哪两点. 那怎样求它的方程呢？技巧是, 找出它的斜率, 再用刚才的方法去求出方程. 首先, 你需要知道：

{%}

例如, 通过 (-3, 4) 和 (2, -6) 的直线方程是什么？首先, 求它的斜率：

斜率 $=\frac{-6-4}{2-(-3)}=\frac{-10}{5}=-2.$

我们现在知道该直线通过 (-3, 4), 斜率为 -2, 所以它的方程为 y - 4 = -2(x - (-3)), 化简后为 y = -2x - 2. 同样, 我们也可以使用另一点 (2, -6) 和斜率为 -2, 得出方程为 y - (-6) = -2(x - 2), 化简后为 y = -2x - 2. 你会发现, 无论使用哪一个点, 最后得到的结果都是相同的.

1.6　常见函数及其图像

下面是你应该知道的最重要的一些函数.

(1) 多项式　有许多函数是基于 x 的非负次幂建立起来的. 你可以以 1、x、x² 、x³ 等为基本项, 然后用实数同这些基本项做乘法, 最后把有限个这样的项加到一起. 例如, 多项式 f (x) = 5x⁴ -4x³ +10 是由 x⁴ 的 5 倍加 x³ 的 -4 倍加 10 而形成的. 你可能也想加中间的基本项 x² 和 x , 但由于它们没有出现, 所以我们可以说零倍的 x² 和零倍的 x. 基本项 xⁿ 的倍数叫作 xⁿ 的系数. 例如, 刚才的多项式 x⁴ 、x³ 、x² 、x 和常数项的系数分别为 5、-4、0、0 和 10. (顺便提一下, 为什么会有 x 和 1 的形式? 这两项看上去与其他项不同, 但它们实际上是一样的, 因为 x = x¹, 1 = x⁰.) 最大的幂指数 n(该项系数不能为零) 叫作多项式的次数. 例如上述多项式的次数为 4, 因为不存在比 4 大的 x 的幂指数. 次数为 n 的多项式的数学通式为

$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0,$

其中 a_n 为 xⁿ 的系数, a_n-1 为 x^n-1 的系数, 以此类推, 直到最后一项 1 的系数为 a₀.

由于 xⁿ 是所有多项式的基本项, 因而你应该知道它们的图像是什么样的. 偶次幂的图像之间是非常类似的; 同样, 奇次幂的图像之间也很类似. 图 1-15 是从 x⁰ 到 x⁷ 的图像.

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图　1-15

一般的多项式的图像是很难画的. 除非是很简单的多项式, 否则连 x 轴的截距都经常很难找到. 不过, 多项式的图像左右两端的走势倒是容易判断. 这是由最高次数的项的系数决定的, 该系数叫作首项系数. a_n 就为上述多项式通式的首项系数. 例如, 我们刚才提到的多项式 5x⁴ - 4x³ + 10, 5 为它的首项系数. 实际上, 我们只需考虑首项系数正负以及多项式次数的奇偶就能判断图像两端的走势了. 所以图像两端的走势共有如下四种情况, 如图 1-16 所示.

{%}

图　1-16

上述图像的中间部分是由多项式的其他项决定的. 上图仅仅是为了显示图像左右两端的走势. 在这个意义上, 多项式 5x⁴ - 4x³ + 10 的图像同最左边的图像类似, 因为 n = 4 为偶数, a_n = 5 为正数.

我们再稍微讨论一下次数为 2 的多项式, 又叫二次函数. 不写成 p(x) = a₂x² + a₁x + a₀, 而把系数分别写成 a、b、c 会更简单些, 即我们有 p(x) = ax² + bx + c. 根据判别式的符号可以判断二次函数到底有两个、一个还是没有实数解. 通常我们用希腊字母 Δ 来表示判别式 Δ = b² - 4ac. 它共有三种可能性. 如果 Δ > 0, 有两个不同的解; 如果 Δ = 0, 只有一个解, 也可以说有两个相同的解; 如果 Δ < 0, 在实数范围内无解. 对于前两种情况, 解为

$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

注意到该表达式根号下为判别式. 二次函数的一个重要技术是配方. 下面举例说明. 考虑二次函数 2x² - 3x + 10. 第一步把二次项的系数提出来, 多项式变为了 $2\biggl(x^2-\frac{3}{2}x+5\biggr)$ . 这时就得到一个二次项系数为 1 的多项式. 接下来的关键一步是把 x 的系数，这里是 $-\frac{3}{2}$ , 除以 2, 再平方. 我们得到 $\frac{9}{16}$ 。我们多希望常数项是 $\frac{9}{16}$ , 而不是 5, 所以我们开动脑筋：

$x^2-\frac{3}{2}x+5=x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}+5-\frac{9}{16}.$

为什么要加一次 $\frac{9}{16}$ , 又减一次 $\frac{9}{16}$ 呢？因为这样的话, 前三项为平方形式 $\biggl(x-\frac{3}{4}\biggr)^2$ . 这时我们得到

$x^2-\frac{3}{2}x+5=\biggl(x^2-\frac{3}{2}+\frac{9}{16}\biggr)+5-\frac{9}{16}=\biggl(x-\frac{3}{4}\biggr)^2+5-\frac{9}{16}.$

接下来, 只剩最后一小步, $5-\frac{9}{16}=\frac{71}{16}$ . 最后恢复系数 2, 我们有

$2x^2-3x+10=2\biggl(x^2-\frac{3}{2}x+5\biggr)=2\Biggl(\biggl(x-\frac{3}{4}\biggr)^2+\frac{71}{16}\Biggr)=2\biggl(x-\frac{3}{4}\biggr)^2+\frac{71}{8}.$

事实证明, 这个形式在许多情形中更为便利. 你一定要学会如何配方, 因为我们要在第 18 章和第 19 章大量运用这个技巧.

(2) 有理函数　形如 $\frac{p(x)}{q(x)}$ , 其中 p 和 q 为多项式的函数, 叫作有理函数. 有理函数变化多样, 它的图像根据 p 和 q 两个多项式的变化而变化. 最简单的有理函数是多项式本身, 即 q(x) 为 1 的有理函数. 另一个简单的例子是 1/xⁿ, 其中 n 为正整数. 图 1-17 是一些有理函数的图像.

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图　1-17

奇次幂的图像之间类似, 偶次幂的图像之间也很类似. 知道这些图像长什么样子是有帮助的.

(3) 指数函数和对数函数　你需要知道指数函数的图像长什么样. 例如, 图 1-18 是 y = 2^x 的图像.

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图　1-18

y = b^x(b > 1) 的图像都与这图类似. 有几点值得注意. 首先, 该函数的定义域为全体实数; 其次, y 轴的截距为 1 并且值域为大于零的实数; 最后, 左端的水平渐近线为 x 轴. 再强调一下, 该图像非常接近于 x 轴, 但永远不会接触到 x 轴, 无论在你的图形计算器上多么接近. (在第 3 章中, 我们会再次碰到渐近线.) y = 2^-x 的图像是 y = 2^x 关于 y 轴的对称, 如图 1-19 所示.

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图　1-19

如果底小于 1, 情况会是怎样？例如, 考虑 $y=\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^x$ 的图像. 注意到 $\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^x=1/2^x=2^{-x}$ , 所以图 1-19 中 y = 2^-x 的图像也是 $y=\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^x$ 的图像, 因为对于任意 x, 2^-x 与 $\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^x$ 均相等. 同理可得任何 y = b^x(0 < b < 1) 的图像.

由于 y = 2^x 的图像满足水平线检验, 所以该函数有反函数. 这个反函数就是以 2 为底的对数函数 y = log₂(x). 以直线 y = x 为镜子, y = log₂(x) 如图 1-20 所示.

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图　1-20

该函数的定义域为 (0, +∞), 这也印证了我之前所说的负数和 0 不能求对数的说法. 值域为全体实数, y 轴为垂直渐近线. log_b(x)(b > 1) 的图像都很相似. 对数函数在微积分的学习中很重要, 你一定要学会怎样画它们的图像. 我们将在第 9 章学习对数函数的性质.

(4) 三角函数　三角函数很重要, 所以下一章整章将对其作详细介绍.

(5) 带有绝对值的函数　让我们看一下形如 f (x) = |x| 的绝对值函数. 该函数的定义为：

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另一个看待这个绝对值函数的方法是, 它表示数轴上 0 和 x 的距离. 更一般而言, 你应该知道如下重要事实：

{75%}

例如, 假设你需要在数轴上找出区域 |x - 1| ≤ 3. 我们可以将该不等式阐释为 x 和 1 之间的距离小于或等于 3. 也就是说, 我们要找到所有与 1 之间的距离不大于 3 的点. 所以我们画一个数轴并标记 1 的位置, 如图 1-21 所示.

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图　1-21

距离不大于 3 的点最左到 -2 最右到 4, 所以区域如图 1-22 所示.

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图　1-22

所以区域 |x - 1| ≤ 3 也可表示为 [-2, 4].

同样成立的是, $|x|=\sqrt{x^2}$ . 可以检验一下. 当 x ≥ 0, 显然 $\sqrt{x^2}=x$ ; 如果 x < 0, $\sqrt{x^2}=x$ 这个表达式就错了, 因为左边为正, 右边为负. 正确的表达式为 $\sqrt{x^2}=-x$ , 这次右边为正了, 负负得正. 如果你再重新看一次 |x| 的定义, 就会发现我们已经证明了 $|x|=\sqrt{x^2}$ . 但尽管这样, 对于 |x| 这个函数, 最好还是用分段函数去定义.

最后, 我们来看一些图像. 如果你知道一个函数的图像, 那么可以这样得到这个函数的绝对值的图像, 即以 x 轴为镜子, 把 x 轴下方的图像映射上来, x 轴上方的图像保持不变. 例如, 对于 |x| 的图像, 可以通过翻转 y = x 在 x 轴下方的部分得到, 图 y = |x| 的图像如图 1-23 所示.

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图　1-23

怎样画 y = |log₂(x)| 的图像呢？使用图像对称的原理, 这个绝对值函数的图像如图 1-24 所示.

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图　1-24

除了三角函数要在下一章讲外, 这是我在函数部分要讲解的所有内容. 但愿你之前已经见过本章中的许多内容, 因为其中的大部分知识将在微积分中被反复使用, 所以你需要尽快掌握这些知识.

第 2 章　三角学回顾

学习微积分必须要了解三角学. 说实话, 我们一开始不会碰到很多有关三角学的内容, 但当它们出现的时候, 会让我们感觉不容易. 因此, 我们不妨针对三角学最重要的一些方面进行一次全面的回顾：

用弧度度量的角与三角函数的基本知识;
实轴上的三角函数 (不只是介于 0° 和 90° 的角);
三角函数的图像;
三角恒等式.

准备开始回忆吧 ……

2.1　基本知识

首先要回忆的是弧度的概念. 旋转一周, 我们说成 2π 弧度而不是 360°. 这似乎有点古怪, 但这里也有一个理由, 那就是半径为 1 个单位的圆的周长是 2π 个单位. 事实上, 这个圆的一个扇形的弧长就是这个扇形的圆心角的弧度, 如图 2-1 所示.

{75%}

图　2-1

上图表示了一般情况, 但要紧的还是一些常用角的度和弧度表达. 首先, 你应该确实掌握, 90° 和 π/2 弧度是一样的. 类似地, 180° 和 π 弧度是一样的, 270° 和 3π/2 弧度是一样的. 一旦掌握了这几个角, 就试着将图 2-2 中所有的角在度与弧度之间来回转换吧.

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图　2-2

更一般地, 如果需要的话, 也可以使用公式

用弧度度量的角 $=\frac{\pi}{180}\times$ 用度度量的角.

例如, 要想知道 5π/12 弧度是多少度, 可求解

$\frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{180}\times$ 用度计量的角,

你会发现 5π/12 弧度就是 (180/π) × (5π/12) = 75°. 事实上, 可以将弧度和度的转换看成是一种单位的转换, 如英里和公里的转换一样. 转换因数就是 π 弧度等于 180°.

到目前为止, 我们仅仅研究了角, 现在来看看三角函数吧. 显然, 你必须知道如何由三角形来定义三角函数. 假设我们有一个直角三角形, 除直角外的一角被记为 θ, 如图 2-3 所示. 那么, 基本公式为

sin (θ) = {5%} ,　cos (θ) = {5%} ,　tan (θ) = {5%} .

{75%}

图　2-3

当然, 如果变换了角 θ, 那么也必须变换其对边和邻边, 如图 2-4 所示. 毫不奇怪, 对边就是对着角 θ 的边, 而邻边则是挨着角 θ 的边. 不过, 斜边始终保持不变：它是最长的那条边, 并始终对着直角.

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图　2-4

我们也会用到余割、正割和余切这些倒数函数, 它们的定义分别为

$\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)},\quad\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)},\quad\cot(x)=\frac{1}{\tan(x)}.$

如果你有计划要参加一次微积分的考试 (或者即便你没有), 我的一点建议是：请熟记常用角 0, π/6, π/4, π/3, π/2 的三角函数值. 例如, 你能不假思索化简 sin (π/3) 吗？tan (π/4) 呢？如果你不能, 那么最好的情况下, 你通过画三角形来寻找答案, 从而白白浪费时间; 而最坏的情况下, 由于总是没有化简你的回答, 你白白丢掉分数. 解决的方法就是要熟记下表.

	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
sin	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	0
tan	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	★

表中的星号表示 tan (π/2) 无定义. 事实上, 正切函数在 π/2 处有一条垂直渐近线 (从图像上看会很清楚, 我们将在 2.3 节对此进行研究). 无论如何, 你必须能够熟练地说出该表中的任意一项, 而且来回都要掌握! 这意味着你必须能够回答两类问题. 这两类问题的例子是：

(1) sin (π/3) 是什么？(使用该表, 答案是 $\sqrt{3}/2$ . )

(2) 介于 0 到 π/2, 其正弦值为 $\sqrt{3}/2$ 的角是什么？(显然, 答案是 π/3. )

当然, 你必须能够回答该表中的每一项所对应的这两类问题. 就算我求大家了, 请背熟这张表! 数学不是死记硬背, 但有些内容是值得记忆的, 而这张表一定位列其中. 因此, 无论是制作记忆卡片, 让你的朋友来测验你, 还是每天抽一分钟记忆, 不管用什么办法, 请背熟这张表.

2.2　扩展三角函数定义域

上表 (你背熟了吗？) 仅仅包括介于 0 到 π/2 的一些角. 但事实上, 我们可以取任意角的正弦或者余弦, 哪怕这个角是负的. 对于正切函数, 我们则不得不小心些. 例如, 上面我们看到的 tan (π/2) 是无定义的. 尽管如此, 我们还是能够对几乎每一个角取正切.

让我们首先来看看介于 0 到 2π (记住, 2π 就是 360°) 的角吧. 假设你想要计算 sin (θ) (或 cos (θ) 或 tan (θ)), 其中 θ 是介于 0 到 π/2 的角. 为了看得更清楚, 我们先来画一个带有一点古怪标记的坐标平面, 如图 2-5 所示.

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图　2-5

注意到坐标轴将平面分成了四个象限, 标记为 Ⅰ 到 Ⅳ, 且标记的走向为逆时针方向. 这些象限分别被称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 下一步是要画一条始于原点的射线 (就是半直线). 那么究竟是哪一条射线呢？这取决于角 θ. 来想象一下, 你自己站在原点上, 面向 x 轴的正半轴. 现在沿着逆时针方向转动角 θ, 然后你沿着一条直线向前走. 你的足迹就是你要找的那条射线了.

现在, 图 2-5 (以及图 2-2) 中的其他标记就说得通了. 事实上, 如果你转动了角 π/2, 你将正面向上并且你的足迹将是 y 轴的正半轴. 如果你转动了角 π, 你将得到 x 轴的负半轴. 如果你转动了角 3π/2, 你将得到 y 轴的负半轴. 最后, 如果你转动了角 2π, 那么就又会回到了你起始的那个位置, 即面向 x 轴的正半轴. 这就好像你根本没转动过! 这就是为什么图中会有 0 ≡ 2π. 对于角度而言, 0 和 2π 是等价的.

好了, 让我们取某个角 θ 并以恰当的方式画出它. 或许它就在第三象限的某个地方, 如图 2-6 所示.

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图　2-6

注意到我们将这条射线标记为 θ, 而不是这个角本身. 不管怎样, 现在在这条射线上选取某个点并从该点画一条垂线至 x 轴. 我们对三个量感兴趣：该点的 x 坐标和 y 坐标 (当然它们被称为 x 和 y), 以及该点到原点的距离, 我们称为 r. 注意, x 和 y 可能会同时为负 (事实上, 在图 2-7 中它们均为负). 然而, r 总是正的, 因为它是距离. 事实上, 根据毕达哥拉斯定理 (即勾股定理), 不管 x 和 y 是正还是负, 我们总会有 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ . (平方会消除任何负号.)

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图　2-7

有了这三个量, 我们就可以定义如下的三个三角函数了：

$\sin(\theta)=\frac{y}{r},\quad\cos(\theta)=\frac{x}{r},\quad\tan(\theta)=\frac{y}{x}.$

将量 x、y 和 r 分别解释为邻边、对边和斜边, 这些函数恰好就是 2.1 节中的固定公式了. 不过等一下, 如果你在那条射线上选取了另外一个点, 那会是什么样子呢？这不要紧, 因为你得到的新的三角形和原来的那个三角形是相似的, 而上述比值不会受到任何影响. 事实上, 为方便起见, 我们常常假设 r = 1, 这样得到的点 (x, y) 会落在所谓的单位圆 (就是以原点为中心, 半径为 1 的圆) 上.

现在来看一个例子. 假设, 我们想求 sin (7π/6). 首先, 7π/6 会在第几象限呢？我们需要决定 7π/6 会出现在列表 0, π/2, π, 3π/2, 2π 的哪个地方. 事实上, 7/6 大于 1 但小于 3/2, 故 7π/6 在 π 和 3π/2 之间. 事实上, 图 2-8 看起来很像前面的例子.

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图　2-8

因此, 角 7π/6 在第三象限. 然后, 我们选取了该射线上的一点, 该点至原点的距离 r = 1, 并从该点至 x 轴做了一条垂线. 由前述公式可知, sin (θ) = y/r = y (因为 r = 1), 因此, 我们还是要求出 y. 好吧, 那个小角, 就是在 7π/6 处的射线和 x 轴的负半轴 (其为 π) 之间的角一定是这两个角的差, 即 π/6. 这个小角被称为参考角. 一般来说, θ 的参考角是在表示角 θ 的射线和 x 轴之间的最小的角, 它必定介于 0 到 π/2. 在我们的例子中, 到 x 轴的最短路径是向上, 所以参考角如图 2-9 所示. 因此, 在那个小三角形中, 我们知道 r = 1, 以及角为 π/6. 似乎答案就是 y = sin (π/6) = 1/2, 但这是错的! 由于在 x 轴的下方, y 一定为负值. 也就是说, y = -1/2. 因为 sin (θ) = y, 我们也就证明了 sin (7π/6) = -1/2. 对于余弦来说, 也可以重复这个过程, 求出 $x=-\cos(\pi/6)=-\sqrt{3}/2$ . 毕竟, 由于点 (x, y) 在 y 轴的左侧, 因此 x 必须为负. 这样就证明了 $\cos(7\pi/6)=-\sqrt{3}/2$ , 并且识别出点 (x, y) 即为点 $(-\sqrt{3}/2,~-1/2)$ .

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图　2-9

2.2.1　ASTC 方法

上例中的关键是将 sin (7π/6) 和 sin (π/6) 联系起来, 其中 π/6 是 7π/6 的参考角. 事实上, 并不难看出任意角的正弦就是其参考角正弦的正值或负值! 这就使问题缩小到两种可能性上, 而且没有必要再纠缠于 x, y 或 r 如此这般麻烦. 因此, 在我们的例子中, 只需要求出 7π/6 的参考角, 即 π/6; 这就会立即可知 sin (7π/6) 等于 sin (π/6) 或 -sin (π/6), 而我们只需从中选出正确的结果. 我们发现, 结果是负的那个, 因为 y 是负的.

事实上, 在第三或第四象限中的任意角的正弦必定为负, 因为那里的 y 为负. 类似地, 在第二或第三象限中的任意角的余弦必定为负, 因为那里的 x 为负. 正切是比值 y/x, 它在第二和第四象限为负 (由于 x 和 y 中的一个为负, 但不全为负), 而在第一和第三象限为正.

让我们来总结一下这些发现吧. 首先, 所有三个函数在第一象限 (I) 中均为正. 在第二象限 (II) 中, 只有正弦为正, 其他两个函数均为负. 在第三象限 (III) 中, 只有正切为正, 其他两个函数均为负. 最后, 在第四象限 (IV) 中, 只有余弦为正, 其他两个函数均为负. 具体如图 2-10 所示.

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图　2-10

事实上, 你只需要记住图表中的字母 ASTC 就行了. 它们会告诉你在那个象限中哪个函数为正. “A” 代表 “全部”, 意味着所有的函数在第一象限均为正. 显然, 其余的字母分别代表正弦、正切和余弦. 在我们的例子中, 7π/6 在第三象限, 所以只有正切函数在那里为正. 特别地, 正弦函数为负, 又由于我们已经把 sin (7π/6) 的可能取值缩小到 1/2 或 -1/2 了, 因此结果一定是负的那个, 即 sin (7π/6) = -1/2.

ASTC 图唯一的问题在于, 它没有告诉我们该如何处理角 0, π/2, π 或 3π/2, 因为它们都位于坐标轴上. 这种情况下, 最好是先忘记所有 ASTC 的内容, 然后以恰当的方式画一个 y = sin (x) (或 cos (x), 或 tan (x)) 的图像, 并且从图像中读取数值. 我们将在 2.3 节对此进行研究.

以下是用 ASTC 方法来求介于 0 到 2π 的角的三角函数值的总结.

(1) 画出象限图, 确定在该图中你感兴趣的角在哪里, 然后在图中标出该角.

(2) 如果你想要的角在 x 轴或 y 轴上 (即没有在任何象限中), 那么就画出三角函数的图像, 从图像中读取数值 (2.3 节有一些例子).

(3) 否则, 找出在代表我们想要的那个角的射线和 x 轴之间最小的角, 这个角被称为参考角.

(4) 如果可以, 使用那张重要的表来求出参考角的三角函数值. 那就是你需要的答案, 除了你可能还需要在得到的值前面添一个负号.

(5) 使用 ASTC 图来决定你是否需要添一个负号.

来看一些例子. 如何求 cos (7π/4) 和 tan (9π/13) 呢？我们一个一个地看. 对于 cos (7π/4), 我们注意到 7/4 介于 3/2 和 2 之间, 故该角必在第四象限, 如图 2-11 所示.

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图　2-11

为了求出参考角, 注意到我们必须向上走到 2π (注意! 不是到 0), 因此, 参考角就是 2π 和 7π/4 的差, 即 (2π - 7π/4), 或简化为 π/4. 所以 cos (7π/4) 是正的或负的 cos (π/4). 根据表, cos (π/4) 是 $1/\sqrt{2}$ . 但到底是正的还是负的呢？由 ASTC 图可知, 在第四象限中余弦为正, 故结果为正的那个： $\cos(7\pi/4)=1/\sqrt{2}$ .

现在来看一下 tan (9π/13). 我们发现 9/13 介于 1/2 和 1 之间, 故角 9π/13 在第二象限, 如图 2-12 所示.

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图　2-12

这一次, 我们需要走到 π 以到达 x 轴, 故参考角就是 π 和 9π/13 的差, 即 (π-9π/13), 或简化为 4π/13. 这样, 我们知道 tan (9π/13) 是正的或负的 tan (4π/13). 哎呀, 可是数 4π/13 没有在我们的表里面, 因此不能化简 tan (4π/13). 可我们还是需要确定它是正的还是负的. 那好, ASTC 图显示, 在第二象限中只有正弦为正, 故正切一定为负, 于是 tan (9π/13) = -tan (4π/13). 这就是不使用近似可以得到的最简形式. 在求解微积分问题的时候, 我不建议取近似结果, 除非题目中有明确要求. 一个常见的误解是, 当你计算如同 -tan (4π/13) 这样的问题时, 由计算器计算出来的数就是正确答案. 其实, 那只是一个近似! 所以你不应该写

$-\tan(4\pi/13)=-1.448~750~113,$

因为它不正确. 就应该写 -tan (4π/13), 除非有特别的要求, 让做近似. 在那种情况下, 使用约等号和更少的小数位数, 并恰当化整近似 (除非要求保留更多小数位数)：

$-\tan(4\pi/13)\approx-1.449.$

顺便说一下, 你应该少用计算器. 事实上, 一些大学甚至不允许在考试中使用计算器! 因此, 你应该尽量避免使用计算器.

2.2.2　[0, 2π] 以外的三角函数

还有一个问题, 就是如何取大于 2π 或小于 0 的角的三角函数. 事实上, 这并不太难, 简单地加上或减去 2π 的倍数, 直到你得到的角在 0 和 2π 之间. 你看, 它并不是在 2π 就完了. 它是一直在旋转. 例如, 如果我让你站在一点面向正东, 然后逆时针方向旋转 450°, 一种自然的做法是, 你旋转一整周, 然后再旋转 90°. 现在你应该是面向正北. 当然, 另一种不那么头晕目眩的做法是, 你只逆时针方向旋转 90°, 而你面向的是同样的方向. 因此, 450° 和 90° 是等价的角. 当然, 这对于弧度来说也一样. 这种情况下, 5π/2 弧度和 π/2 弧度是等价的角. 但为什么要止步于旋转一周呢？9π/2 弧度又如何？这和旋转 2π 两次 (这样我们得到 4π), 然后再旋转 π/2 是一样的. 因此, 在得到最终的 π/2 之前, 我们做了两周徒劳的旋转. 旋转周数无关紧要, 我们再次得到 9π/2 和 π/2 等价. 这个过程可以被无限地扩展下去, 以得到等价于 π/2 的角的一个家族：

$\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{9\pi}{2},\frac{13\pi}{2},\frac{17\pi}{2},\cdots.$

当然, 这其中的每一个角都比前一个角多一个整周旋转, 即 2π. 但这仍然还没算完. 如果你做了所有这些逆时针旋转, 并感到头晕目眩, 或许你也会要求做一个或两个顺时针旋转来缓和一下. 这就相当于一个负角. 特别地, 如果你面向东, 我让你逆时针旋转 -270°, 对我这个怪异要求唯一合理的解释就是顺时针旋转 270°(或 3π/2). 显然, 你最终仍然会面向正北, 因此, -270° 和 90° 一定是等价的. 确实, 我们将 360° 加到 -270° 上就会得到 90° . 使用弧度, 我们则看到, -3π/2 和 π/2 是等价的角. 另外, 我们可以要求更多负的 (顺时针方向) 整周旋转. 最后, 以下就是等价于 π/2 的角的完全的集合：

$\cdots,-\frac{15\pi}{2},-\frac{11\pi}{2},-\frac{7\pi}{2},-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{9\pi}{2},\frac{13\pi}{2},\frac{17\pi}{2},\cdots.$

这个序列没有开端也没有结束. 当我说它是 “完全的” 时, 我用前后两头的省略号代表了无穷多个角. 为了避免这些省略号, 我们可以使用集合符号 {π/2 + 2πn}, 其中 n 可以取所有整数.

来看一下是否可以应用它吧. 如何求 sec (15π/4) 呢？首先, 注意到如果我们能够求出 cos (15π/4), 所要做的就是取其倒数以得到 sec (15π/4). 因此, 让我们先求 cos (15π/4). 由于 15/4 大于 2, 让我们先试着消去 2. 这样, 15/4 - 2 = 7/4, 现在它介于 0 和 2 之间, 这看上去很有希望了. 代入 π, 我们看到 cos (15π/4) 和 cos (7π/4) 是一样的, 并且我们已经求出其结果为 $1/\sqrt{2}$ . 因此, $\cos(15\pi/4)=1/\sqrt{2}$ . 取其倒数, 我们发现 sec (15π/4) 就是 $\sqrt{2}$ .

最后, sin (-5π/6) 又如何呢？有很多方法来求解此问题, 但上面提到的方法是试着将 2π 的倍数加到 -5π/6 上, 直到结果是介于 0 到 2π 的. 事实上, 2π 加上 -5π/6 得 7π/6, 因此, sin (-5π/6) = sin (7π/6), 后者我们已经知道等于 -1/2. 另外, 我们也可以直接画图 2-13.

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图　2-13

现在, 你必须找出图中的参考角. 不难看出, 它是 π/6, 然后一如前述.

2.3　三角函数的图像

记住正弦、余弦和正切函数的图像会非常有用. 这些函数都是周期的, 这意味着, 它们从左到右反复地重复自己. 例如, 我们考虑 y = sin (x). 从 0 到 2π 的图像看上去如图 2-14 所示.

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图　2-14

你应该做到能够不假思索就画出这个图像, 包括 0, π/2, π, 3π/2 和 2π 的位置. 由于 sin (x) 以 2π 为单位重复 (我们说 sin (x) 是 x 的周期函数, 其周期为 2π), 通过重复该模式, 我们可以对图像进行扩展, 得到图 2-15.

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图　2-15

从图像中读值, 可以看到 sin (3π/2) = -1, sin (-π) = 0. 正如之前注意到的, 你应该这样去处理 π/2 的倍数的问题, 而不用再找参考角那么麻烦了. 另一个值得注意的是, 该图像关于原点有 180° 点对称性, 这意味着, sin (x) 是 x 的奇函数. (我们在 1.4 节中分析过奇偶函数.)

y = cos (x) 的图像和 y = sin (x) 的图像类似. 当 x 在从 0 到 2π 上变化时, 它看起来就像图 2-16.

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图　2-16

现在, 利用 cos (x) 是周期函数及其周期为 2π 这一事实, 可对该图像进行扩展, 得到图 2-17.

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图　2-17

例如, 如果你想要求 cos (π), 只需从图像上读取, 你会看到结果是 -1. 此外, 注意到该图像关于 y 轴有镜面对称性. 这说明, cos (x) 是 x 的偶函数.

现在, y = tan (x) 略有不同. 最好是先画出 x 介于 -π/2 到 π/2 的图像, 如图 2-18 所示.

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图　2-18

与正弦函数和余弦函数不同的是, 正切函数有垂直渐近线. 此外, 它的周期是 π, 而不是 2π. 因此, 上述图样可以被重复以便得到 y = tan (x) 的全部图像, 如图 2-19 所示.

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图　2-19

很明显, 当 x 是 π/2 的奇数倍数时, y = tan (x) 有垂直渐近线 (因而此处是无定义的). 此外, 图像的对称性表明, tan (x) 是 x 的奇函数.

y = sec (x)、y = csc (x) 及 y = cot (x) 的函数图像也值得我们去学习, 它们分别如图 2-20、图 2-21 及图 2-22 所示.

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图　2-20

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图　2-21

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图　2-22

从它们的图像中, 可以得到所有六个基本三角函数的对称性的性质, 这些也都值得学习.

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因此, 对于所有的实数 x, 我们有 sin (-x) = -sin (x), tan (-x) = -tan (x), cos (-x) = cos (x).

2.4　三角恒等式

三角函数间的关系用来十分方便. 首先, 注意到正切和余切可以由正弦和余弦来表示：

$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)},\quad\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}.$

(有时, 根据这些恒等式, 用正弦和余弦来代替每一个正切和余切会有帮助, 但这只是你被卡住时不得已而为之的下下策.)

所有三角恒等式中最重要的就是毕达哥拉斯定理了 (用三角函数表示),

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这对于任意的 x 都成立. (为什么这是毕达哥拉斯定理呢？如果直角三角形的斜边是 1, 其中一个角为 x, 自己验证三角形的其他两条边长就是 cos (x) 和 sin (x).)

现在, 让这个等式两边同除以 cos² (x). 你应该能够得到以下结果：

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该公式在微积分里也会经常出现. 另外, 你也可以将毕达哥拉斯定理等式两边同除以 sin² (x), 得到以下等式：

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这个公式好像没有其他公式出现得那么频繁.

三角函数之间还有其他一些关系. 你注意到了吗？一些函数的名字是以音节 “co” 开头的. 这是 “互余” (complementary) 的简称. 说两个角互余, 意味着它们的和是 π/2 (或 90°). 可不是说它们相互恭维. 好吧, 不玩双关了, 事实是有以下一般关系：

三角函数 (x) = co-三角函数 $\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr)$ .

特别地, 有：

$\sin(x)=\cos\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr),\quad\tan(x)=\cot\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr),\quad\sec(x)=\csc\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr).$

甚至当三角函数名中已经带有一个 “co” 时, 以上公式仍然适用; 你只需要认识到, 余角的余角就是原始的角! 例如, co-co-sin 事实上就是 sin, co-co-tan 事实上就是 tan. 基本上, 这意味着我们还可以说：

$\cos(x)=\sin\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr),\quad\cot(x)=\tan\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr),\quad\csc(x)=\sec\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr).$

最后, 还有一组恒等式值得我们学习. 这些恒等式涉及角的和与倍角公式. 特别地, 我们应该记住下列公式：

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还应该记住, 你可以切换所有的正号和负号, 得到一些相关的公式：

$\begin{aligned}&\sin(A+B)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)\&\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B).\end{aligned}$

对于上述方框公式中的 sin (A + B) 和 cos (A + B), 令 A = B = x, 我们就会得到另一个有用的结果. 很明显, 正弦公式是 sin (2x) = 2 sin (x) cos (x). 但让我们更仔细看一下余弦公式. 它会变成 cos (2x) = cos² (x) - sin² (x); 这本身没错, 但更有用的是使用毕达哥拉斯定理 sin² (x) + cos² (x) = 1 将 cos (2x) 表示成为 2 cos² (x) - 1 或 1 - 2 sin² (x) (自已验证一下它们是成立的!). 综上, 倍角公式为：

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那么如何用 sin (x) 和 cos (x) 来表示 sin (4x) 呢？我们可以将 4x 看作两倍的 2x, 并使用正弦恒等式, 写作 sin (4x) = 2 sin (2x) cos (2x). 然后应用两个恒等式, 得到

$\sin(4x)=2(2\sin(x)\cos(x))(2\cos^2(x)-1)=8\sin(x)\cos^3(x)-4\sin(x)\cos(x).$

类似地,

$\cos(4x)=2\cos^2(2x)-1=2(2\cos^2(x)-1)^2-1=8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+1.$

你不用记这后两个公式; 相反, 你要确保理解了如何使用倍角公式来推导它们. 如果你能够掌握本章涉及的所有三角学内容, 就能够很好地学习本书的剩余部分了. 因此, 抓紧时间消化这些知识吧. 做一些例题, 并确保你记住了那张很重要的表格和所有方框公式.