luogu4897 最小割树（Gomory-Hu Tree）学习笔记

最小割树是用来解决图中多对点的最小割的问题的。
比如说，一个图中多组点的最小割的询问。

首先关于最小割，就是删除边权和尽量小的边，让某两个点不连通。
通常使用最小割最大流定理来解决。

但是对于 $10^5$级别的询问，我们并没有办法通过每次做一遍最小割来实现。

这时候就需要最小割树。

首先有一个定理，就是一个n个点的图上，两点之间只有n种本质不同的最小割。
因此一定存在一棵树，满足树上两点的最小割等于原图上两点的最小割。
我们把这样的树称之为“最小割树”。 --Ebola

qwq
并不会证明，但是感性理解还是比较好理解的。

那么我们应该怎么去求这个最小割树呢？
首先，我们任意选择两个点 $u,v$，进行一次最小割，然后根据割，将原图分成两个部分，同时我们连边 $u\rightarrow v$，边权是最小割的值，然后我们分治的对剩下两个部分进行类似的操作。直到一个点的时候，就 $return$。

需要注意的是，我们对于子部分进行最小割的时候，需要复原所有的边。

经过这样一个过程，不难发现，我们最后会连接 $n-1$条，也就是正好构成一棵树。

这就是最小割树了。qwq但是其实我并不是很知道原因。
那两个点之间的最小割是什么呢？

这里给出引理。
引理： $对于任意x\in U,y\in V，有cut(x,y)\le cut(u,v)。$
证明：假设有 $cut(x,y) > cut(u,v)$，那么cut(u,v)就不能把 $u,v$割开，因为 $x,y$依然相连。

所以，我们对于树上任意两点的最小割，就是他们树上路径的 $min$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk make_pair
#define ll long long

using namespace std;

inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 1510;
const int maxm = 1e5+1e2;
const int inf = 1e9;

//引理：对于任意x∈U,y∈V，有cut(x,y)≤cut(u,v)。
//如果存在大于，那么cut(u,v)就无法形成割 
int point[maxn],nxt[maxm],to[maxm],val[maxm];
int cnt=1,n,m;
int x[maxm],y[maxm],w[maxm];
int s,t;
int h[maxn];
int a[maxn];
int b[maxn],c[maxn];
int tot;
int col[maxn];

void addedge(int x,int y,int w)
{
  nxt[++cnt]=point[x];
  to[cnt]=y;
  val[cnt]=w;
  point[x]=cnt;
} 

void insert(int x,int y,int w)
{
	addedge(x,y,w);
	addedge(y,x,0); 
}

void init()
{
	cnt=1;
	memset(point,0,sizeof(point));
}

queue<int> q;

bool bfs(int s)
{
   memset(h,-1,sizeof(h));
   h[s]=0;
   q.push(s); 
   while (!q.empty())
   {
   	  int x = q.front();
   	  q.pop();
   	  for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
	  {
	      int p = to[i];
		  if (h[p]==-1 && val[i]>0)
		  {
		  	h[p]=h[x]+1;
		  	q.push(p);
		  }	
	  }
   }
   if (h[t]==-1) return false;
   return true;
}

int dfs(int x,int low)
{
	if (x==t || low==0) return low;
	int totflow=0;
	for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
	{
		int p = to[i];
		if (h[p]==h[x]+1 && val[i]>0)
		{
			int tmp = dfs(p,min(low,val[i]));
			val[i]-=tmp;
			val[i^1]+=tmp;
			low-=tmp;
			totflow+=tmp;
			if (low==0) return totflow;
		}
	}
	if(low>0) h[x]=-1;
	return totflow;
}

int dinic(int ss,int tt)
{
	int ans=0;
	s=ss;
	t=tt;
	init();
	for (int i=1;i<=m;i++) insert(x[i],y[i],w[i]),insert(y[i],x[i],w[i]);
	while (bfs(s))
	  ans=ans+dfs(s,inf);
	return ans;
}


struct tree{
	int point[maxn],nxt[maxm],to[maxm];
	int val[maxm],cnt,f[maxn][21];
	int g[maxn][21];
	int deep[maxn];
	void addedge(int x,int y,int w)
	{
		nxt[++cnt]=point[x];
		to[cnt]=y;
		val[cnt]=w;
		point[x]=cnt;
	}
	void dfs(int x,int fa,int dep)
	{
		deep[x]=dep;
		for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
		{
			int p = to[i];
			if (p==fa) continue;
			dfs(p,x,dep+1);
			g[p][0]=val[i];
			f[p][0]=x;
		}
	}
	void init()
	{
		for (int j=1;j<=20;j++)
		  for (int i=1;i<=n;i++)
		    f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
		for (int j=1;j<=20;j++)
		  for (int i=1;i<=n;i++)
		    g[i][j]=min(g[i][j-1],g[f[i][j-1]][j-1]);
	}
	int go_up(int x,int d)
	{
		for (int i=0;i<=20;i++) 
		  if (d&(1<<i)) x=f[x][i];
		return x;
	}
	int lca(int x,int y)
	{
		if (deep[x]>deep[y]) x = go_up(x,deep[x]-deep[y]);
		else y = go_up(y,deep[y]-deep[x]);
		if (x==y) return x;
		for (int i=20;i>=0;i--)
		{
			if (f[x][i]!=f[y][i])
			{
				x=f[x][i];
				y=f[y][i];
			}
		}
		return f[x][0];
	}
	int getmin(int x,int d)
	{
		int mn = 1e9;
		for (int i=0;i<=20;i++)
		  if(d&(1<<i)) mn=min(g[x][i],mn),x=f[x][i];
		return mn;
	}
};

tree f;

void find(int x,int wei)
{
	col[x]=wei;
	for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
	{
		int p = to[i];
		if (col[p]!=wei && val[i]>0)
		  find(p,wei); 
	}
}

void build(int l,int r)
{   //cout<<l<<" "<<r<<endl;
	if (l>=r) return;
	int x = a[l],y = a[l+1];
	int now = dinic(x,y);
//	cout<<l<<" "<<r<<" "<<x<<" "<<y<<" "<<now<<" "<<endl;
	f.addedge(x,y,now);
	f.addedge(y,x,now);
	++tot;
	find(x,tot);
	int num=l-1,num1=0,num2=0;
	for (int i=l;i<=r;i++) 
	  if (col[a[i]]==tot) b[++num1]=a[i];
	  else c[++num2]=a[i];
	for (int i=1;i<=num1;i++) a[++num]=b[i];
	for (int i=1;i<=num2;i++) a[++num]=c[i];
    build(l,l+num1-1);
    build(l+num1,r);
}

int main()
{
    n=read(),m=read();
    n++;
    for (int i=1;i<=m;i++) x[i]=read()+1,y[i]=read()+1,w[i]=read();
	for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=i;
	build(1,n); 
	memset(f.g,127/3,sizeof(f.g)); 
	f.dfs(1,0,0);//cout<<1<<endl;
	f.init();
	
	int q=read();
	for (int i=1;i<=q;i++)
	{
	   int x=read()+1,y=read()+1;
	   int l = f.lca(x,y);
	   int ans = 1e9;
	   ans=min(ans,f.getmin(x,f.deep[x]-f.deep[l]));
	   ans=min(ans,f.getmin(y,f.deep[y]-f.deep[l]));
	   cout<<ans<<"\n";
	}
	return 0;
}