[模板] 数学基础:逆元/exGCD/exCRT/Lucas定理/exLucas

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exgcd

用途

解不定方程 $ ax+by = c $

void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y,ll& d){
    b==0?(x=1,y=0,d=a):(exgcd(b,a%b,y,x,d),y-=x*(a/b));
}
//use
    ll a,b,c;
    ll m,x,y;
    exgcd(a,b,x,y,m);
    if(c%m!=0)cout<<"No\n"; //无解
    else{
        c/=m,x*=c,y*=c,a/=m,b/=m;
//令x取最小非负整数
        x1=x%b;if(x1<0)x1+=abs(b);
        y1=(c-a*x1)/b;
//令y取最小非负整数
        y1=y%a;if(y1<0)y1+=abs(a);//(y>=0?y%a:y%a+abs(a));
        x1=(c-b*y1)/a;
    }

逆元

//1:qp(n,nmod-2)
//2
ll inv(ll n){
    ll x,y,d;
    exgcd(n,p,x,y,d);
    return x%p+(x<0?p:0);
}

excrt

用途

解线性同余方程组 $ x \equiv a_i \pmod{m_i} $

代码

ll excrt(ll *a,ll *m,ll n){
    ll a0=a[1],m0=m[1],x,y,g;
    rep(i,2,n){
        g=exgcd(m0,m[i],x,y);
        if((a[i]-a0)%g!=0)return -1;
        x=(a[i]-a0)/g*x%(m[i]/g);
        a0+=x*m0;
        m0=m0/g*m[i];
        a0%=m0; 
    }
    return a0<0?(a0%m0+m0):(a0%m0);
}

Lucas定理

内容

设\(n=(a_0a_1\dots a_k)_p\),\(m=(b_0b_1\dots b_k)_p\)
\[ \binom n m\equiv \prod _{i=0}^k\binom {a_i} {b_i} \mod p \].

也即
\[ \binom n m \equiv \binom {\lfloor \frac{n}{p}\rfloor} {\lfloor \frac{m}{p}\rfloor} \cdot \binom {n \mod p} {m \mod p} \mod p\]

代码

ll c(ll n,ll m){
    if(m<0||m>n)return 0;
    return fact(n)*inv(fact(m)*fact(n-m)%p)%p;
}
ll lucas(int n,int m){//c(n,m)%p
    return m?lucas(n/p,m/p)*c(n%p,m%p)%p:1;
}

exLucas