[poj1322]Chocolate——生成函数

题目大意：

一共有\(c\)种糖果，取\(n\)次，每次取到糖果种类都是等概率的，求有\(m\)种糖果个数为奇数个的概率。

思路：

直接概率DP时间复杂度太高，卡常数也不太好卡。

将每次取出来的糖果看成是一个带有重复元素的排列，直接计算复合条件的排列数量。

考虑符合条件的最后的序列的考虑EGF（指数型生成函数），可得出现次数为偶数次的糖果的生成函数为：
\[ F_0(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i}}{(2i)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \]
出现奇数次的糖果的生成函数为：
\[ F_1(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \]
可以得到最后的答案的生成函数为：
\[ F_1^{m}(x)\times F_0^{c-m}(x)=(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^m\times(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^{c-m} \]
将\(e^x\)看成是一个整体，然后两边分别二项式展开之后做卷积，然后再将\(e^x\)展开即可得到第\(n\)项系数。
\[ \begin{aligned} G(x)&=2^{-c}\times \sum_{i=0}^{m}(-1)^i{m\choose i}\times e^{(m-2i)x}\times \sum_{j=0}^{c-m}{c-m\choose j}\times e^{(2j-c+m)x}\\ &=2^{(-c)}\times \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{c-m}(-1)^i{m\choose i}{c-m\choose j}\times e^{(2m-2i+2j-c)x}\\ &=2^{(-c)}\times \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{c-m}(-1)^i{m\choose i}{c-m\choose j}\times \sum_{k=0}^{\infty}\frac{((2m-2i+2j-c)x)^k}{k!} \end{aligned} \]
设第\(n\)项的系数为\(a_n\)，最后的答案为：
\[ \frac{a_n\times{c\choose m}\times n!}{2^c\times c^n} \]
垃圾poj
坑点：
如果用实数类去计算，中间过程可能会爆精度，特别是中间的快速幂，建议将最后分母的那个\(c^m\)移到系数的快速幂里面，这样会让中间过程的数值小一些。
好像用不了%lf，直接用%f即可。
交C++好像过不了。

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 * Author : ylsoi
 * Time : 2019.2.1
 * Problem : Chocolate
 * E-mail : [email protected]
 * ====================================*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>

#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<" "
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
#define pb push_back
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
    freopen("poj1322.in","r",stdin);
    freopen("poj1322.out","w",stdout);
}

template<typename T>void read(T &_){
    _=0; T fl=1; char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')fl=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())_=(_<<1)+(_<<3)+(ch^'0');
    _*=fl;
}

const int maxn=1e6+10;
const int maxc=200+10;
int c,n,m;
double C[maxc][maxc],ans;

double qpow(double x,int y){
    double ret=1;
    while(y){
        if(y&1)ret=ret*x;
        x=x*x;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}

void init(){
    C[0][0]=1;
    REP(i,1,200){
        C[i][0]=1;
        REP(j,1,i)C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    }
}

int main(){
    File();
    init();
    while(~scanf("%d%d%d",&c,&n,&m)){
        if(!c)break;
        ans=0;
        if(m>c || m>n || (n-m)%2){
            printf("0.000\n");
            continue;
        }
        REP(i,0,m)REP(j,0,c-m)
            ans+=(i%2 ? -1 : 1)*C[m][i]*C[c-m][j]*qpow((2*m-2*i+2*j-c)*1.0/c,n);
        ans=ans*C[c][m]/qpow(2,c);
        printf("%.3f\n",ans);
    }
    return 0;
}