带你彻底理解RSA算法原理

1. 什么是RSA

RSA算法是现今使用最广泛的公钥密码算法，也是号称地球上最安全的加密算法。在了解RSA算法之前，先熟悉下几个术语
根据密钥的使用方法，可以将密码分为对称密码和公钥密码
对称密码：加密和解密使用同一种密钥的方式
公钥密码：加密和解密使用不同的密码的方式，因此公钥密码通常也称为非对称密码。

2. RSA加密

RSA的加密过程可以使用一个通式来表达

$密文＝明文 E m o d N$

也就是说RSA加密是对明文的E次方后除以N后求余数的过程。就这么简单？对，就是这么简单。
从通式可知，只要知道E和N任何人都可以进行RSA加密了，所以说E、N是RSA加密的密钥，也就是说E和N的组合就是公钥，我们用(E,N)来表示公钥

$公钥＝ (E, N)$

不过E和N不并不是随便什么数都可以的，它们都是经过严格的数学计算得出的，关于E和N拥有什么样的要求及其特性后面会讲到。顺便啰嗦一句E是加密（Encryption）的首字母，N是数字（Number）的首字母

3. RSA解密

RSA的解密同样可以使用一个通式来表达

$明文＝密文 D m o d N$

也就是说对密文进行D次方后除以N的余数就是明文，这就是RSA解密过程。知道D和N就能进行解密密文了，所以D和N的组合就是私钥

$私钥＝ (D, N)$

从上述可以看出RSA的加密方式和解密方式是相同的，加密是求“E次方的mod N”;解密是求“D次方的mod N”
此处D是解密（Decryption）的首字母；N是数字（Number）的首字母。

小结下


公钥	（E，N）
私钥	（D，N）
密钥对	（E，D，N）
加密	$密文＝明文 E m o d N$
解密	$明文＝密文 D m o d N$

4. 生成密钥对

既然公钥是（E，N），私钥是（D，N）所以密钥对即为（E，D，N）但密钥对是怎样生成的？步骤如下：

求N
求L（L为中间过程的中间数）
求E
求D

4.1 求N

准备两个质数p，q。这两个数不能太小，太小则会容易破解，将p乘以q就是N

$N = p * q$

4.2 求L

L 是 p－1 和 q－1的最小公倍数，可用如下表达式表示

$L = l c m （ p － 1 ， q － 1 ）$

4.3 求E

E必须满足两个条件：E是一个比1大比L小的数，E和L的最大公约数为1
用gcd(X,Y)来表示X，Y的最大公约数则E条件如下：

1 < E < L

gcd（E，L）=1

之所以需要E和L的最大公约数为1是为了保证一定存在解密时需要使用的数D。现在我们已经求出了E和N也就是说我们已经生成了密钥对中的公钥了。

4.4 求D

数D是由数E计算出来的。D、E和L之间必须满足以下关系：

1 < D < L

E＊D mod L ＝ 1

只要D满足上述2个条件，则通过E和N进行加密的密文就可以用D和N进行解密。
简单地说条件2是为了保证密文解密后的数据就是明文。
现在私钥自然也已经生成了，密钥对也就自然生成了。
小结下：


求N	N＝ p ＊ q ；p，q为质数
求L	L＝lcm（p－1，q－1）；L为p－1、q－1的最小公倍数
求E	1 < E < L，gcd（E，L）=1；E，L最大公约数为1（E和L互质）
求D	1 < D < L，E＊D mod L ＝ 1

5 实践下吧

我们用具体的数字来实践下RSA的密钥对对生成，及其加解密对全过程。为方便我们使用较小数字来模拟。

5.1 求N

我们准备两个很小对质数，
p ＝ 17
q ＝ 19
N ＝ p ＊ q ＝ 323

5.2 求L

L ＝ lcm（p－1， q－1）＝ lcm(16，18）＝ 144
144为16和18对最小公倍数

5.3 求E

求E必须要满足2个条件：1 < E < L ，gcd（E，L）=1
即1 < E < 144，gcd（E，144）＝ 1
E和144互为质数，5显然满足上述2个条件
故E ＝ 5

此时公钥=(E，N）＝（5，323）

5.4 求D

求D也必须满足2个条件：1 < D < L，E＊D mod L ＝ 1
即1 < D < 144，5 ＊ D mod 144 ＝ 1
显然当D＝ 29 时满足上述两个条件
1 < 29 < 144
5＊29 mod 144 ＝ 145 mod 144 ＝ 1
此时私钥＝（D，N）＝（29，323）

5.5 加密

准备的明文必须时小于N的数，因为加密或者解密都要mod N其结果必须小于N
假设明文＝ 123
则密文＝明文EmodN＝1235mod323=225

5.6 解密

明文＝密文DmodN＝22529mod323=123
解密后的明文为123。

好了至此RSA的算法原理已经讲解完毕，是不是很简单？