不平等博弈问题学习记录(二)

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在上一篇文章中,定义了{l|r}这个运算
但是,还有很多的特殊情况没有考虑过,就比如说,在{L|R}的运算中,L或R为空集怎么办,那么这个这个空集就可以用 Φ 表示,不过一般可以用不写任何东西来表示,比如说 | = 0 ,可以当做无穷(如果是左边是空集,那么可以视为是无穷小,如果右边是空集,那么可以视为是无穷大)
另外,当l=r=0的时候呢,两个子状态都是先手必败态,那么答案是什么呢,那很显然是先手必胜态,那么用什么表示呢,好像没有数能表示啊

定义一个数 = { 0 | 0 },这个状态表示先手必胜态,那么显然 0 ={ | },这样一来就成功解觉这个问题了, 小于所有正数,大于所有负数,和0无法比较

定义好了 ,那么与 相关的运算呢,如果 与一个正数或负数进行运算, 与自己运算也有了定义,那么 与0运算呢,真是神奇,那就还要定义新的东西啦

={ 0 | }
={ | 0 }
那么,这个 与其它数有什么关系呢
对于 ,容易看出 是第一个玩家必胜态,所以 >0,另外呢 又小于每一个正数(有证明,但要用到这种定义下的加法),所以类似于 就好像正无穷小
对于 ,容易看出 是第一个玩家必败态,所以 <0,同样类似于 大于每一个负数,所以 可以近似看作正无穷小

新定义了那么多东西,{ l | r }的很多运算就差不多解释完了
总结一下
Φ < <↓< 0 , <↑ < Φ
对于运算{ L | R }可以转化为{max(L)|min(R)}(L,R都是集合)
也就转化到了{ l | r }的问题了(l,r,都是数)
如果l < r那么{ l | r }的结果:
若l、r之间有整数,{l|r}=x(l < x < r且x是所有满足的数中离0最近的整数)
若l、r之间无整数,{l|r}=x/y(l < x/y < r且y=2^k(k是正整数)且y是所有满足条件的数中最小的数,x是在满足前面的条件下的可取值中离0最近的整数)
如果l=r=0或者l=r=*
那么结果是0 = { | }, = { 0 | 0 }
然后另外有如下公式
={ 0 | }
={ | 0 }
知道上述的定义,差不多就能解决所有的这一类的OI题目了,但是考虑 0 | 之类的结果是什么呢,在这里还无法解释,理解上述内容其实已经够用了,但是学一样东西就要学透,所以在下一篇文章中我会写到加法运算的定义,当然先理解这篇文章的内容是最重要的,当然我的说法并不一定完全严谨,如果有问题敬请提出,记录(二)到这里就结束了

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