数据结构之查找

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查找就是根据给定的某个值，在查找表中确定一个其关键字等于给定值的数据元素。

顺序表查找

顺序表查找（sequential search）又叫线性查找，是最基本的查找技术，它的查找过程是：从表中第一个记录开始，逐个进行记录的关键字和给定值比较，若某个记录的关键字和给定值相等，则查找成功，找到所查的记录；如果查到最后一个记录，其关键字和给定值比较都不等时，则表中没有所查的记录，查找不成功。

1. 顺序表查找
   a为数组，key为要查找的关键字，a[i]==key则查找成功。
2. 顺序表查找优化
   以上算法每次循环时都要对i是否越界，即是否小于等于n作判断。事实上，还可以有更好一点的办法，设置一个哨兵，可以解决不需要每次让i与n作比较，时间复杂度为O(n)。

有序表查找

折半查找

折半查找又称为二分查找，它的前提是线性表中的记录必须是关键码有序，线性表必须采用顺序存储，时间复杂度O(logn)。

插值查找

现在我们的问题是，为什么一定要折半，而不是折1/4或者折更多呢？插值查找时根据要查找的关键字key与查找表中最大最小记录的关键字比较后的查找方法，其核心就在于插值的计算公式：
$\frac{key-a[low]}{a[high]-a[low]}$
mid = low + (high-low)*(key-a[low])/(a[high]-a[low]);
时间复杂度为O(logn)，但对于表长较长，而关键字分布又比较均匀的查找表来说，插值查找算法的平均性能比折半查找好得多。

斐波那契查找

除了插值查找，还可以利用黄金分割原理来实现查找，即斐波那契查找。

1. 数组不够斐波那契对应数字长度，得补全a[i]=a[n]
2. mid=low+F[k-1]-1
3. 如果key<a[mid]，则high=mid-1；k=k-1
4. 如果key>a[mid]，则low=mid+1；k=k-2
5. 直到key=a[mid]，程序结束
6. 如果mid>n，则说明是补全数值，返回n

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */

typedef int Status;	/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

int F[100]; /* 斐波那契数列 */

/* 无哨兵顺序查找，a为数组，n为要查找的数组个数，key为要查找的关键字 ，i返回角标*/
int Sequential_Search(int *a, int n, int key)
{
	int i;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (a[i] == key)
			return i;
	}
	return 0;
}
/* 有哨兵顺序查找 */
//a为表，n为表长，key为要查找的数字，i返回数字角标
int Sequential_Search2(int *a, int n, int key)
{
	int i;
	a[0] = key;
	i = n;
	while (a[i] != key)
	{
		i--;
	}
	return i;
}

/* 折半查找 */
//a为表，n为表长，key为要查找的数字，mid返回数字角标
int Binary_Search(int *a, int n, int key)
{
	int low, high, mid;
	low = 1;	/* 定义最低下标为记录首位 */
	high = n;	/* 定义最高下标为记录末位 */
	while (low <= high)
	{
		mid = (low + high) / 2;	/* 折半 */
		if (key<a[mid])		/* 若查找值比中值小 */
			high = mid - 1;		/* 最高下标调整到中位下标小一位 */
		else if (key>a[mid])/* 若查找值比中值大 */
			low = mid + 1;		/* 最低下标调整到中位下标大一位 */
		else
		{
			return mid;		/* 若相等则说明mid即为查找到的位置 */
		}

	}
	return 0;
}

/* 插值查找 */
//a为表，n为表长，key为要查找的数字，mid返回数字角标
int Interpolation_Search(int *a, int n, int key)
{
	int low, high, mid;
	low = 1;	/* 定义最低下标为记录首位 */
	high = n;	/* 定义最高下标为记录末位 */
	while (low <= high)
	{
		mid = low + (high - low)*(key - a[low]) / (a[high] - a[low]); /* 插值 */
		if (key<a[mid])		/* 若查找值比插值小 */
			high = mid - 1;		/* 最高下标调整到插值下标小一位 */
		else if (key>a[mid])/* 若查找值比插值大 */
			low = mid + 1;		/* 最低下标调整到插值下标大一位 */
		else
			return mid;		/* 若相等则说明mid即为查找到的位置 */
	}
	return 0;
}

/* 斐波那契查找 */
//a为表，n为表长，key为要查找的数字，mid返回数字的角标
int Fibonacci_Search(int *a, int n, int key)
{
	int low, high, mid, i, k = 0;
	low = 1;	/* 定义最低下标为记录首位 */
	high = n;	/* 定义最高下标为记录末位 */
	while (n>F[k] - 1)
		k++;
	for (i = n; i<F[k] - 1; i++)
		a[i] = a[n];

	while (low <= high)
	{
		mid = low + F[k - 1] - 1;
		if (key<a[mid])
		{
			high = mid - 1;
			k = k - 1;
		}
		else if (key>a[mid])
		{
			low = mid + 1;
			k = k - 2;
		}
		else
		{
			if (mid <= n)
				return mid;		/* 若相等则说明mid即为查找到的位置 */
			else
				return n;
		}

	}
	return 0;
}

int main(void)
{
	int a[MAXSIZE + 1], i, result;
	int arr[MAXSIZE] = { 0,1,16,24,35,47,59,62,73,88,99 };
	for (i = 0; i <= MAXSIZE; i++)
	{
		a[i] = i;
	}
	result = Sequential_Search(a, MAXSIZE, MAXSIZE);
	printf("Sequential_Search:%d \n", result);
	result = Sequential_Search2(a, MAXSIZE, 1);
	printf("Sequential_Search2:%d \n", result);

	result = Binary_Search(arr, 10, 62);
	printf("Binary_Search:%d \n", result);

	result = Interpolation_Search(arr, 10, 62);
	printf("Interpolation_Search:%d \n", result);

	F[0] = 0;//斐波那契数列，全局变量
	F[1] = 1;
	for (i = 2; i < 100; i++)
	{
		F[i] = F[i - 1] + F[i - 2];
	}
	result = Fibonacci_Search(arr, 10, 62);
	printf("Fibonacci_Search:%d \n", result);

	system("pause");
	return 0;
}

运行结果：

Sequential_Search:100
Sequential_Search2:1
Binary_Search:7
Interpolation_Search:7
Fibonacci_Search:7
请按任意键继续. . . 

线性索引查找

稠密索引

稠密索引是指在线性索引中，将数据集中的每个记录对应一个索引项，索引项一定是按照关键码有序排列。

1. 关键字有序，可以使用折半、插值、斐波那契等有序查找法
2. 但对于内存有限的计算机来说，可能需要反复的访问磁盘，查找性能下降。
   

分块索引

分块索引好比图书馆的书架，块间有序，块内无序，需要指定块的的最大关键码，使得下一个块的最小关键字比上一个最大关键字大。

1. 块间使用折半、插值等算法
2. 块内使用顺序查找算法
3. 效率比顺序查找O(n)高，比折半O(logn)低。
   

二叉排序树

1. 顺序存储插、删快，查找慢
2. 对于有序表，折半、插值、斐波那契查找快，增删慢

二叉排序树是以链接的方式存储，保持了链接存储结构在执行插入或删除操作时不用移动元素的优点，插入删除的时间性能好。二叉树的查找性能取决于二叉树的形状，不平衡的极端情况下可能需要查找n次。

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */

typedef int Status;	/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
					/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef  struct BiTNode	/* 结点结构 */
{
	int data;	/* 结点数据 */
	struct BiTNode *lchild, *rchild;	/* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;

/* 递归查找二叉排序树T中是否存在key, */
/* 指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL */
/* 若查找成功，则指针p指向该数据元素结点，并返回TRUE */
/* 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE */
Status SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p)
{
	if (!T)	/*  查找不成功 */
	{
		*p = f;
		return FALSE;
	}
	else if (key == T->data) /*  查找成功 */
	{
		*p = T;
		return TRUE;
	}
	else if (key<T->data)
		return SearchBST(T->lchild, key, T, p);  /*  在左子树中继续查找 */
	else
		return SearchBST(T->rchild, key, T, p);  /*  在右子树中继续查找 */
}

/*  当二叉排序树T中不存在关键字等于key的数据元素时， */
/*  插入key并返回TRUE，否则返回FALSE */
Status InsertBST(BiTree *T, int key)
{
	BiTree p, s;
	if (!SearchBST(*T, key, NULL, &p)) /* 查找不成功 */
	{
		s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
		s->data = key;
		s->lchild = s->rchild = NULL;
		if (!p)
			*T = s;			/*  插入s为新的根结点 */
		else if (key<p->data)
			p->lchild = s;	/*  插入s为左孩子 */
		else
			p->rchild = s;  /*  插入s为右孩子 */
		return TRUE;
	}
	else
		return FALSE;  /*  树中已有关键字相同的结点，不再插入 */
}

/* 从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树。 */
Status Delete(BiTree *p)
{
	BiTree q, s;
	if ((*p)->rchild == NULL) /* 右子树空则只需重接它的左子树（待删结点是叶子也走此分支) */
	{
		q = *p; *p = (*p)->lchild; free(q);
	}
	else if ((*p)->lchild == NULL) /* 只需重接它的右子树 */
	{
		q = *p; *p = (*p)->rchild; free(q);
	}
	else /* 左右子树均不空 */
	{
		q = *p; s = (*p)->lchild;
		while (s->rchild) /* 转左，然后向右到尽头（找待删结点的前驱） */
		{
			q = s;
			s = s->rchild;
		}
		(*p)->data = s->data; /*  s指向被删结点的直接前驱（将被删结点前驱的值取代被删结点的值） */
		if (q != *p)
			q->rchild = s->lchild; /*  重接q的右子树 */
		else
			q->lchild = s->lchild; /*  重接q的左子树 */
		free(s);
	}
	return TRUE;
}

/* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点, */
/* 并返回TRUE；否则返回FALSE。 */
Status DeleteBST(BiTree *T, int key)
{
	if (!*T) /* 不存在关键字等于key的数据元素 */
		return FALSE;
	else
	{
		if (key == (*T)->data) /* 找到关键字等于key的数据元素 */
			return Delete(T);
		else if (key<(*T)->data)
			return DeleteBST(&(*T)->lchild, key);
		else
			return DeleteBST(&(*T)->rchild, key);

	}
}

int main(void)
{
	int i;
	int a[10] = { 62,88,58,47,35,73,51,99,37,93 };
	BiTree T = NULL;

	for (i = 0; i<10; i++)
	{
		InsertBST(&T, a[i]);
	}

	BiTree p = NULL;
	int result1 = SearchBST(T, 93, NULL, &p);
	printf("查找'93'的结果为(1：存在，0：不存在)：%d\n",result1);
	
	int result2 = DeleteBST(&T, 93);
	printf("删除'93'的结果为(1：成功，0：不成功)：%d\n", result2);

	int result3 = SearchBST(T, 93, NULL, &p);
	printf("查找'93'的结果为(1：存在，0：不存在)：%d\n", result3);

	//printf("本样例建议断点跟踪查看二叉排序树结构\n");
	system("pause");
	return 0;
}

运行结果为：

查找'93'的结果为(1：存在，0：不存在)：1
删除'93'的结果为(1：成功，0：不成功)：1
查找'93'的结果为(1：存在，0：不存在)：0
请按任意键继续. . .

平衡二叉树(AVL树)

平衡二叉树是一种二叉排序树，其中每一个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1。

1. 图2中58<59不满足二叉排序树定义
2. 图3中58左子树高度2，右子树为空，相差大于1，故不满足
   
   距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树，我们称为最小不平衡子树。当插入结点37时，距离它最近的平衡因子绝对值超过1的结点是58(左子树高度2减去右子树高度0)，所以从58开始以下的子树为最小不平衡子树。
   
   平衡二叉树实现原理：每当插入一个结点时，先检查是否因为插入结点而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树。在保持二叉树特性的前提下，调整最小不平衡子树中结点的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡二叉树。
   （1）插入结点5，结点3的BF值为-2说明要旋转了，对这棵树的最小平衡子树进行左旋，以此达到平衡。
   
   （2）插入结点6，结点2的BF值为-2，把树的最小平衡子树左旋，旋转后为满足二叉排序树的特性，结点3需要作出改变。
   
   （3）添加结点7，结点5的BF值为-2，左旋。
   
   （4）添加结点10，结构不变化。添加结点9，结点7的BF值为-2，而结点10的BF为1，一正一负，符号不统一。所以先把结点9、10右旋，符号统一，再左旋。添加结点8同理可得。
   
   

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */

typedef int Status;	/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */


					/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef  struct BiTNode	/* 结点结构 */
{
	int data;	/* 结点数据 */
	int bf; /*  结点的平衡因子 */
	struct BiTNode *lchild, *rchild;	/* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;


/* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理， */
/* 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根结点 */
void R_Rotate(BiTree *P)
{
	BiTree L;
	L = (*P)->lchild; /*  L指向P的左子树根结点 */
	(*P)->lchild = L->rchild; /*  L的右子树挂接为P的左子树 */
	L->rchild = (*P);
	*P = L; /*  P指向新的根结点 */
}

/* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理， */
/* 处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点0  */
void L_Rotate(BiTree *P)
{
	BiTree R;
	R = (*P)->rchild; /*  R指向P的右子树根结点 */
	(*P)->rchild = R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */
	R->lchild = (*P);
	*P = R; /*  P指向新的根结点 */
}

#define LH +1 /*  左高 */ 
#define EH 0  /*  等高 */ 
#define RH -1 /*  右高 */ 

/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
/*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
void LeftBalance(BiTree *T)
{
	BiTree L, Lr;
	L = (*T)->lchild; /*  L指向T的左子树根结点 */
	switch (L->bf)
	{ /*  检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
	case LH: /*  新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 */
		(*T)->bf = L->bf = EH;
		R_Rotate(T);
		break;
	case RH: /*  新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理 */
		Lr = L->rchild; /*  Lr指向T的左孩子的右子树根 */
		switch (Lr->bf)
		{ /*  修改T及其左孩子的平衡因子 */
		case LH: (*T)->bf = RH;
			L->bf = EH;
			break;
		case EH: (*T)->bf = L->bf = EH;
			break;
		case RH: (*T)->bf = EH;
			L->bf = LH;
			break;
		}
		Lr->bf = EH;
		L_Rotate(&(*T)->lchild); /*  对T的左子树作左旋平衡处理 */
		R_Rotate(T); /*  对T作右旋平衡处理 */
	}
}

/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理， */
/*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
void RightBalance(BiTree *T)
{
	BiTree R, Rl;
	R = (*T)->rchild; /*  R指向T的右子树根结点 */
	switch (R->bf)
	{ /*  检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
	case RH: /*  新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */
		(*T)->bf = R->bf = EH;
		L_Rotate(T);
		break;
	case LH: /*  新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */
		Rl = R->lchild; /*  Rl指向T的右孩子的左子树根 */
		switch (Rl->bf)
		{ /*  修改T及其右孩子的平衡因子 */
		case RH: (*T)->bf = LH;
			R->bf = EH;
			break;
		case EH: (*T)->bf = R->bf = EH;
			break;
		case LH: (*T)->bf = EH;
			R->bf = RH;
			break;
		}
		Rl->bf = EH;
		R_Rotate(&(*T)->rchild); /*  对T的右子树作右旋平衡处理 */
		L_Rotate(T); /*  对T作左旋平衡处理 */
	}
}

/*  若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个 */
/*  数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */
/*  失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。 */
Status InsertAVL(BiTree *T, int e, Status *taller)
{
	if (!*T)
	{ /*  插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE */
		*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
		(*T)->data = e; (*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL; (*T)->bf = EH;
		*taller = TRUE;
	}
	else
	{
		if (e == (*T)->data)
		{ /*  树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */
			*taller = FALSE; return FALSE;
		}
		if (e<(*T)->data)
		{ /*  应继续在T的左子树中进行搜索 */
			if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller)) /*  未插入 */
				return FALSE;
			if (*taller) /*   已插入到T的左子树中且左子树“长高” */
				switch ((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */
				{
				case LH: /*  原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理 */
					LeftBalance(T);	*taller = FALSE; break;
				case EH: /*  原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高 */
					(*T)->bf = LH; *taller = TRUE; break;
				case RH: /*  原本右子树比左子树高，现左、右子树等高 */
					(*T)->bf = EH; *taller = FALSE; break;
				}
		}
		else
		{ /*  应继续在T的右子树中进行搜索 */
			if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller)) /*  未插入 */
				return FALSE;
			if (*taller) /*  已插入到T的右子树且右子树“长高” */
				switch ((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */
				{
				case LH: /*  原本左子树比右子树高，现左、右子树等高 */
					(*T)->bf = EH; *taller = FALSE;	break;
				case EH: /*  原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高  */
					(*T)->bf = RH; *taller = TRUE; break;
				case RH: /*  原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理 */
					RightBalance(T); *taller = FALSE; break;
				}
		}
	}
	return TRUE;
}

int main(void)
{
	int i;
	int a[10] = { 3,2,1,4,5,6,7,10,9,8 };
	BiTree T = NULL;
	Status taller;
	for (i = 0; i<10; i++)
	{
		InsertAVL(&T, a[i], &taller);
	}
	printf("本样例建议断点跟踪查看平衡二叉树结构");
	return 0;
}

多路查找树(B树)

多路查找树，其每个结点的孩子书可以多于两个，且每个结点处可以存储多个元素。常见的形式有：2-3树，2-3-4树，B树和B+树。

B树是一种平衡的多路查找树，2-3树和2-3-4树都是B树的特例。结点最大的孩子数目称为B树的阶。因此，2-3树是3阶B树，2-3-4树是4阶B树。
为了让遍历时每个元素只被访问一次，在原有的基础上出现了B+树，每个叶子节点都会保存一个指向后一叶子节点的指针。

#define _CRT_SECURE_NO_DEPRECATE
#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */

#define m 3 /*  B树的阶，暂设为3 */ 
#define N 17 /*  数据元素个数 */ 
#define MAX 5 /*  字符串最大长度+1  */

typedef int Status;	/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

typedef struct BTNode
{
	int keynum; /*  结点中关键字个数，即结点的大小 */
	struct BTNode *parent; /*  指向双亲结点 */
	struct Node /*  结点向量类型 */
	{
		int key; /*  关键字向量 */
		struct BTNode *ptr; /*  子树指针向量 */
		int recptr; /*  记录指针向量 */
	}node[m + 1]; /*  key,recptr的0号单元未用 */
}BTNode, *BTree; /*  B树结点和B树的类型 */

typedef struct
{
	BTNode *pt; /*  指向找到的结点 */
	int i; /*  1..m，在结点中的关键字序号 */
	int tag; /*  1:查找成功，O:查找失败 */
}Result; /*  B树的查找结果类型 */

		 /*  在p->node[1..keynum].key中查找i,使得p->node[i].key≤K＜p->node[i+1].key */
int Search(BTree p, int K)
{
	int i = 0, j;
	for (j = 1; j <= p->keynum; j++)
		if (p->node[j].key <= K)
			i = j;
	return i;
}

/*  在m阶B树T上查找关键字K，返回结果(pt,i,tag)。若查找成功，则特征值 */
/*  tag=1，指针pt所指结点中第i个关键字等于K；否则特征值tag=0，等于K的  */
/*  关键字应插入在指针Pt所指结点中第i和第i+1个关键字之间。 */
Result SearchBTree(BTree T, int K)
{
	BTree p = T, q = NULL; /*  初始化，p指向待查结点，q指向p的双亲  */
	Status found = FALSE;
	int i = 0;
	Result r;
	while (p&&!found)
	{
		i = Search(p, K); /*  p->node[i].key≤K<p->node[i+1].key  */
		if (i>0 && p->node[i].key == K) /*  找到待查关键字 */
			found = TRUE;
		else
		{
			q = p;
			p = p->node[i].ptr;
		}
	}
	r.i = i;
	if (found) /*  查找成功  */
	{
		r.pt = p;
		r.tag = 1;
	}
	else /*   查找不成功，返回K的插入位置信息 */
	{
		r.pt = q;
		r.tag = 0;
	}
	return r;
}

/* 将r->key、r和ap分别插入到q->key[i+1]、q->recptr[i+1]和q->ptr[i+1]中 */
void Insert(BTree *q, int i, int key, BTree ap)
{
	int j;
	for (j = (*q)->keynum; j>i; j--) /*  空出(*q)->node[i+1]  */
		(*q)->node[j + 1] = (*q)->node[j];
	(*q)->node[i + 1].key = key;
	(*q)->node[i + 1].ptr = ap;
	(*q)->node[i + 1].recptr = key;
	(*q)->keynum++;
}

/* 将结点q分裂成两个结点，前一半保留，后一半移入新生结点ap */
void split(BTree *q, BTree *ap)
{
	int i, s = (m + 1) / 2;
	*ap = (BTree)malloc(sizeof(BTNode)); /*  生成新结点ap */
	(*ap)->node[0].ptr = (*q)->node[s].ptr; /*  后一半移入ap */
	for (i = s + 1; i <= m; i++)
	{
		(*ap)->node[i - s] = (*q)->node[i];
		if ((*ap)->node[i - s].ptr)
			(*ap)->node[i - s].ptr->parent = *ap;
	}
	(*ap)->keynum = m - s;
	(*ap)->parent = (*q)->parent;
	(*q)->keynum = s - 1; /*  q的前一半保留，修改keynum */
}

/* 生成含信息(T,r,ap)的新的根结点&T，原T和ap为子树指针 */
void NewRoot(BTree *T, int key, BTree ap)
{
	BTree p;
	p = (BTree)malloc(sizeof(BTNode));
	p->node[0].ptr = *T;
	*T = p;
	if ((*T)->node[0].ptr)
		(*T)->node[0].ptr->parent = *T;
	(*T)->parent = NULL;
	(*T)->keynum = 1;
	(*T)->node[1].key = key;
	(*T)->node[1].recptr = key;
	(*T)->node[1].ptr = ap;
	if ((*T)->node[1].ptr)
		(*T)->node[1].ptr->parent = *T;
}

/*  在m阶B树T上结点*q的key[i]与key[i+1]之间插入关键字K的指针r。若引起 */
/*  结点过大,则沿双亲链进行必要的结点分裂调整,使T仍是m阶B树。 */
void InsertBTree(BTree *T, int key, BTree q, int i)
{
	BTree ap = NULL;
	Status finished = FALSE;
	int s;
	int rx;
	rx = key;
	while (q&&!finished)
	{
		Insert(&q, i, rx, ap); /*  将r->key、r和ap分别插入到q->key[i+1]、q->recptr[i+1]和q->ptr[i+1]中  */
		if (q->keynum<m)
			finished = TRUE; /*  插入完成 */
		else
		{ /*  分裂结点*q */
			s = (m + 1) / 2;
			rx = q->node[s].recptr;
			split(&q, &ap); /*  将q->key[s+1..m],q->ptr[s..m]和q->recptr[s+1..m]移入新结点*ap  */
			q = q->parent;
			if (q)
				i = Search(q, key); /*  在双亲结点*q中查找rx->key的插入位置  */
		}
	}
	if (!finished) /*  T是空树(参数q初值为NULL)或根结点已分裂为结点*q和*ap */
		NewRoot(T, rx, ap); /*  生成含信息(T,rx,ap)的新的根结点*T，原T和ap为子树指针 */
}


void print(BTNode c, int i) /*  TraverseDSTable()调用的函数  */
{
	printf("(%d)", c.node[i].key);
}

int main()
{
	int r[N] = { 22,16,41,58,8,11,12,16,17,22,23,31,41,52,58,59,61 };
	BTree T = NULL;
	Result s;
	int i;
	for (i = 0; i<N; i++)
	{
		s = SearchBTree(T, r[i]);
		if (!s.tag)
			InsertBTree(&T, r[i], s.pt, s.i);
	}
	printf("\n请输入待查找记录的关键字: ");
	scanf("%d", &i);
	s = SearchBTree(T, i);
	if (s.tag)
		print(*(s.pt), s.i);
	else
		printf("没找到");
	printf("\n");
	system("pause");
	return 0;
}

哈希表

散列函数

1. 直接定址法：f(key)=a*key+b
2. 数字分析法：手机号后四位
3. 平方取中法：1234平方得1522756，取227做散列地址，适合位数不是很大的情况。
4. 折叠法：9876543210，分为四组987|654|321|0，求和987+654+321+0=1962，取后三位962，适合位数较多的情况。
5. 除留取余法：f(key)=key mod p。
6. 随机数法

散列冲突处理

开放定址法：

1. 线性探测法：f(key)=(f(key)+di) mod m (di=1,2,3…m-1)，di是冲突元素的角标，m为表长。
2. 二次探测法： $di=1^2，(-1)^2，2^2，(-2)^2...$
3. 伪随机法：di为伪随机数，同样的随机种子结果相同。

再散列函数法：多次用相同或不同散列函数。

散列表查找实现

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */

#define SUCCESS 1
#define UNSUCCESS 0
#define HASHSIZE 12 /* 定义散列表长为数组的长度 */
#define NULLKEY -32768 

typedef int Status;	/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

typedef struct
{
	int *elem; /* 数据元素存储基址，动态分配数组 */
	int count; /*  当前数据元素个数 */
}HashTable;

int m = 0; /* 散列表表长，全局变量 */

		   /* 初始化散列表 */
Status InitHashTable(HashTable *H)
{
	int i;
	m = HASHSIZE;
	H->count = m;
	H->elem = (int *)malloc(m*sizeof(int));
	for (i = 0; i<m; i++)
		H->elem[i] = NULLKEY;
	return OK;
}

/* 散列函数 */
int Hash(int key)
{
	return key % m; /* 除留余数法 */
}

/* 插入关键字进散列表 */
void InsertHash(HashTable *H, int key)
{
	int addr = Hash(key); /* 求散列地址 */
	while (H->elem[addr] != NULLKEY) /* 如果不为空，则冲突 */
	{
		addr = (addr + 1) % m; /* 开放定址法的线性探测 */
	}
	H->elem[addr] = key; /* 直到有空位后插入关键字 */
}

/* 散列表查找关键字 */
Status SearchHash(HashTable H, int key, int *addr)
{
	*addr = Hash(key);  /* 求散列地址 */
	while (H.elem[*addr] != key) /* 如果不为空，则冲突 */
	{
		*addr = (*addr + 1) % m; /* 开放定址法的线性探测 */
		if (H.elem[*addr] == NULLKEY || *addr == Hash(key)) /* 如果循环回到原点 */
			return UNSUCCESS;	/* 则说明关键字不存在 */
	}
	return SUCCESS;
}

int main()
{
	int arr[HASHSIZE] = { 12,67,56,16,25,37,22,29,15,47,48,34 };
	int i, p, key, result;
	HashTable H;

	key = 39;

	InitHashTable(&H);
	for (i = 0; i<m; i++)
		InsertHash(&H, arr[i]);

	result = SearchHash(H, key, &p);
	if (result)
		printf("查找 %d 的地址为：%d \n", key, p);
	else
		printf("查找 %d 失败。\n", key);

	for (i = 0; i<m; i++)
	{
		key = arr[i];
		SearchHash(H, key, &p);
		printf("查找 %d 的地址为：%d \n", key, p);
	}
	system("pause");
	return 0;
}

运行结果：

查找 39 失败。
查找 12 的地址为：0
查找 67 的地址为：7
查找 56 的地址为：8
查找 16 的地址为：4
查找 25 的地址为：1
查找 37 的地址为：2
查找 22 的地址为：10
查找 29 的地址为：5
查找 15 的地址为：3
查找 47 的地址为：11
查找 48 的地址为：6
查找 34 的地址为：9
请按任意键继续. . .