异常点检测（又称为离群点检测）是找出其行为很不同于预期对象的一个检测过程。这些对象被称为异常点或者离群点。异常点检测在很多实际的生产生活中都有着具体的应用，比如信用卡欺诈，工业损毁检测，图像检测等。
异常点（outlier）是一个数据对象，它明显不同于其他的数据对象，就好像它是被不同的机制产生的一样。例如下图红色的点，就明显区别于蓝色的点。相对于蓝色的点而言，红色的点就是异常点。
一般来说，进行异常点检测的方法有很多，最常见的就是基于统计学的方法。
（一）基于正态分布的一元离群点检测方法
假设有 n 个点 ，那么可以计算出这 n 个点的均值
和方差
。均值和方差分别被定义为：
在正态分布的假设下，区域 包含了99.7% 的数据，如果某个值距离分布的均值
超过了
，那么这个值就可以被简单的标记为一个异常点（outlier）。
（二）多元离群点的检测方法
涉及两个或者两个以上变量的数据称为多元数据，很多一元离群点的检测方法都可以扩展到高维空间中，从而处理多元数据。
（1）基于一元正态分布的离群点检测方法
假设 n 维的数据集合形如 ，那么可以计算每个维度的均值和方差 具体来说，对于 ，可以计算
在正态分布的假设下，如果有一个新的数据 ，可以计算概率 如下：
根据概率值的大小就可以判断 x 是否属于异常值。运用该方法检测到的异常点如图，红色标记为异常点，蓝色表示原始的数据点。
（2）多元高斯分布的异常点检测
假设 n 维的数据集合 ，可以计算 n 维的均值向量
和 的协方差矩阵：
如果有一个新的数据 ，可以计算
根据概率值的大小就可以判断 是否属于异常值。
（3）使用 Mahalanobis 距离检测多元离群点
对于一个多维的数据集合 D，假设 是均值向量，那么对于数据集 D 中的其他对象 ，从 到 的 Mahalanobis 距离是
其中 是协方差矩阵。
在这里， 是数值，可以对这个数值进行排序，如果数值过大，那么就可以认为点 是离群点。或者对一元实数集合 进行离群点检测，如果 被检测为异常点，那么就认为 在多维的数据集合 D 中就是离群点。
运用 Mahalanobis 距离方法检测到的异常点如图，红色标记为异常点，蓝色表示原始的数据点。
（4）使用 统计量检测多元离群点
在正态分布的假设下， 统计量可以用来检测多元离群点。对于某个对象 ， 统计量是
其中， 是 在第 i 维上的取值， 是所有对象在第 i 维的均值，n 是维度。如果对象 的 统计量很大，那么该对象就可以认为是离群点。
运用 统计量检测到的异常点如图，红色标记为异常点，蓝色表示原始的数据点。
相关文章推荐：
1. 量子计算（一）
2. 特征工程简介
3. 转行数据挖掘和机器学习
4. 聚类算法（一）
欢迎大家关注公众账号数学人生
（长按图片，识别二维码即可添加关注）