题目大意:
有一张网格图,每个位置有至多
个棋子。告诉你每一列有多少棋子
,问有多少行的情况
(即每一行有多少棋子),使得存在一种情况,满足这两个限制。
例如当
的时候,
及他们的多重排列共13中情况都是合法的(
和
被认为是两种方案)。
。
题解:
考虑告诉你
怎么判定,其实这是另一个经典的问题,方法是先考虑朴素网络流,这个显然,然后转化为最小割,那么显然结果是,如果左边(行)选
个,一定会选前
小的,右边
同理,记
表示左边
的前
小,那么最小割是:
(如果就是这样一个判定可行的题目的话,你可以用类似斜率优化和桶排做到线性判定)
现在我们希望最大流是
,也就是最小割是这个东西,那么就需要(显然一定存在一种割法使得代价是
):
这样对于每个
,我们就可以求出一个
的下界,不妨记作
。
然后我们就得到了能够使得
有解的充要条件。
然后就可以
了,我们设
表示填了
行,最大值是
,和是
,那么枚举
表示填
行
,并在剩下的
行中选择
行:
注意转移的时候要满足第二行,不满足置
(不合法)。
最后
就是答案。
#include<bits/stdc++.h>
#define gc getchar()
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define lint long long
#define mod 1000000007
using namespace std;const int N=55;int b[N],L[N],dp[N][N][N*N],C[N][N];
int main()
{
int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);rep(i,1,m) scanf("%d",&b[i]);sort(b+1,b+m+1);rep(i,1,m) b[i]+=b[i-1];
rep(x,1,n) rep(y,0,m) L[x]=max(L[x],b[m]-b[y]-(n-x)*(m-y));int s=b[m];
rep(i,0,n) C[i][0]=1;rep(i,1,n) rep(j,1,i) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
rep(i,0,n&&!L[i]) dp[0][i][0]=C[n][i];
rep(i,0,m-1) rep(j,0,n) rep(k,L[j],s-(n-j)*(i+1)) if(dp[i][j][k])
rep(t,0,n-j&&k+(i+1)*t<=s&&k+(i+1)*t>=L[j+t]) (dp[i+1][j+t][k+(i+1)*t]+=(lint)dp[i][j][k]*C[n-j][t]%mod)%=mod;
return !printf("%d\n",dp[m][n][s]);
}