P、NP、NPC、NP-hard 问题及组合最优化问题的认识和理解

P、NP、NPC和NP-hard 问题

算法的时间复杂度

时间复杂度是指在问题的规模扩大之后，程序求解所需要的时间增长的有多快

示例：
如果无论数据有多大，时间总是那么多，则称常数级复杂度，O(1)
若数据规模变多大，程序花费的时间变多长，即 O(n)；若数据变大2倍，时间变长4倍，即 O(n^2)；这些属于多项式时间复杂度，如找最大值，冒泡排序…
形如 O(a^n), O(n!) 等时间复杂度属于指数型时间复杂度，需要的时间太多计算机往往不能承受。

会不会所有的问题都可以找到复杂度为多项式级的算法呢？

并不是。有些问题只能找到指数型时间复杂度的算法，比如Hamilton回路问题；也有找不出正确算法的问题，如Halting问题，称为不可解问题。

问题的分类：

P类问题：可以找到一个多项式时间复杂度的算法去解决的问题；
NP类问题：可以在多项式时间复杂度的算法去验证结果正确性的问题；比如随便拿一个结果，可在多项式时间内验证该结果是否正确，但是想要求解该结果的时间复杂度就不知道了。P类问题一定是NP类问题，但是NP类问题不一定能找到多项式时间复杂度的算法来解决（要是找到了就是P问题了）。所以人们关心的是：是否所有的NP问题都是P问题，即是否有 P=NP（信息学的巅峰问题）

目前为止这个问题还“啃不动”。但是，一个总的趋势是人们普遍认为，P=NP不成立，也就是说，多数人相信，存在至少一个不可能有多项式级复杂度的算法的NP问题。人们如此坚信P≠NP是有原因的，就是在研究NP问题的过程中找出了一类非常特殊的NP问题叫做NP-完全问题，也即所谓的 NPC问题。

其他：找不到在多项式时间复杂度的算法去验证结果的问题（不讨论）

“约化”的概念

问题A可以约化为问题B：可以采用解决问题B的方法解决问题A；或者说，问题A可以转化为问题B。（如：一元二次方程的解法可以用来解一元一次方程，只要令二次项系数a=0即可）
问题A可以约化为问题B 的直观意义：B的时间复杂度高于或者等于A的时间复杂度。也就是说，问题A不比问题B难。
约化具有传递性：如果问题A可约化为问题B，问题B可约化为问题C，则问题A一定可约化为问题C。
约化的标准概念：如果能找到这样一个变化法则（要求该变化法则为至多多项式时间复杂度），对任意一个程序A的输入，都能按这个法则变换成程序B的输入，使两程序的输出相同，那么我们说，问题A可约化为问题B。

NP问题和NP-完全问题（NPC问题）

一个问题约化为另一个问题，时间复杂度增加了，问题的应用范围也增大了。通过对某些问题的不断约化，我们能够不断寻找复杂度更高，但应用范围更广的算法来代替复杂度虽然低，但只能用于很小的一类问题的算法。

如果从某一个NP问题开始不断向上约化，不断找到能“通吃”若干小NP问题的一个稍复杂的大NP问题，那么最后是否有可能找到一个时间复杂度最高，并且能“通吃”所有的 NP问题的这样一个超级NP问题？

NPC问题：存在这样一个NP问题，所有的NP问题都可以约化成它。这种问题不只一个，它有很多个，它是一类问题。这一类问题就是NPC 问题。
NPC问题的定义：同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题：首先，它得是一个NP问题；然后，所有的NP问题都可以约化到它。

NPC问题的证明：先证明它至少是一个NP问题，再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它（由约化的传递性，则NPC问题定义的第二条也得以满足）

NP-hard问题：

NP-hard问题满足NPC问题定义的第二条而不满足第一条。NP-hard问题的范围比NP问题要广。

NP-hard问题同样难以找到多项式时间复杂度的算法，但它也不一定是NP问题（只是所有的NP问题都可以约化到它）。

组合最优化问题

组合最优化问题（combinatorial optimizationproblem）是一类在离散状态下求极值的问题。把某种离散对象按某个确定的约束条件进行安排，当已知合乎这种约束条件的特定安排存在时，寻求这种特定安排在某个优化准则下的极大解或极小解的间题。

组合最优化的理论基础含线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、拟阵论和网络分析等。组合最优化技术提供了一个快速寻求极大解或极小解的方法。

组合最优化问题的数学模型：

$\ min f(x)$
$s.t. g(x) \geq 0$
$\ x \in D$

其中， $f(x)$ 为目标函数， $g(x)$ 为约束函数， $x$ 为决策变量， $D$ 表示有限个点组成的集合。

一个组合最优化问题可以用三个参数 $(D,F,f)$ 来表示，其中 $D$ 表示决策变量的定义域， $F$ 表示可行解区域，

F中的任意一个元素为该问题的可行解， $f$ 表示目标函数，满足使 $f(x)$ 值取到最小值的可行解区域中的 $x^{*}$ 称为该问题的最优解。

组合最优化的特点

多数问题属于所谓的NP完全问题，即对该问题基本上不存在一种算法，使得当所有的具体问题的变量和约束条件的数目两者之和甚大时，可以在容许时间（即所谓的多项式时间）之内给出所要的解。

由于这类问题在生产实际中经常出现，不能予以忽视，于是出现了两类解决问题的途径：一类是所谓的直观算法，另一类是近似算法。随着组合最优化研究的进展，一些数学分支，如组合数学、拟阵和广义拟阵以及图论等，也相应地得到新的发展。