最长上升子序列 nlogn (导弹拦截)

先给出模板题目链接

拦截导弹

遇到最长不下降子序列, 我们第一时间想到的是O(n^2)的算法, 该算法简便易懂而且代码也好写, 不像nlogn这个, 代码几分钟,边界问题调试了我几十分钟......

先来讲理解思路

对于n(log n)这个解法, 除了一个保存数据的数组之外,还需要一个额外的数组(前者在一定情况下省略,也就是说边输入边进行运算).

定义另一个数组为 tmp[maxn](数组始终有序,具体为什么请往下面看)

除此之外需要一个p=1用来表示最长上升序列的个数

下面用图形表示代码运行过程

序列:   1 3 2 4 5

初始我们的tmp数组是这样的

在3到的时候发现3比P[1]大,于是将3放到1的后面,此时上升序列有两个.

数组变成了这个样子

然后后面又来了一个2, 这个时候发现3比2要大, 这个时候我们用二分查找去找2可以更改的位置

发现2可以放在p[1]后面, 于是把p[2]更新为2.( 为什么更新以及更新的作用我会在后面解释, 请耐心往下看 ).

接下来的数组是这个样子的

后面紧跟序列4 5, 是一个递增的序列, 4比P[2]大,所以4放到P[2]后面, p[3] = 4, 然后 5比p[3]大, p[4] = 5, 数组是这个样子的

为了解释之前为什么用2去更改3,我们在给定的序列1 3 2 4 5 后面加几个数, 2 2 2,

这样的话标准的不上升序列是1 2 2 2 2.然而到5为止,我们求到的序列是1 2 4 5.

后面继续用该算法去求

进来一个2,发现2比P[4]=5要小,于是找到他能插入的最大的位置,于是找到了p[3]=4, 将p[3]置为2,该数列变成

然后又进来一个2, 发现p[4]还是要大于2, 所以继续寻找可以插入的位置, 然后把p[5]更新成2.

于是数列变成

然后进来一个2,插入到最后序列就变成了

结果√

最后总结一句, 因为是最长不下降子序列, 我们需要考虑的只有最后选择的一个数,

前面已经选择的数的更改是不会影响到最终的长度的,反而如果前面的数一直更改到了最后一个

说明这里用一个更小的数将最后一个数给替代了, 因为对于后面我们不知道的序列, 为了达到最长, 我们当前选择的这个数当然越小越好.

(...说不清楚了不说了...)

下面贴出导弹拦截nlogn代码

解题方法: 先求一边最长不上升子序列,再求一边最长上升子序列

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100005;
int sz[maxn],tp[maxn]; //
int n=1;
int p=1;
int main(){
	while(cin>>sz[n]) n++;
	tp[1] = sz[1];
	for(int i=2;i<n;i++){
		if(sz[i] <= tp[p]) tp[++p] = sz[i];//注意<= 最长不上升 
		else{
			int l=1,r=p,mid=p>>1;
			while(l!=r){
				if(sz[i] > tp[mid]) r = mid;
				else l = mid+1;
				mid = (l+r)>>1;
			}
			tp[l] = sz[i];
		}
	}
	cout<<p<<endl;
	memset(tp,0,sizeof(tp));
	tp[1]=sz[1];
	p=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(sz[i] > tp[p]) tp[++p] = sz[i];
		else{
			int l=1,r=p,mid=p>>1;
			while(l!=r){
				if(sz[i] <= tp[mid] ) r = mid;
				else l = mid+1;
				mid = (l+r)>>1;
			}
			tp[l] = sz[i];
		}
	}
	cout<<p<<endl;
	return 0;
}