kd-tree 小结

核心思想

是一种分割 \(k\) 维数据空间的数据结构
一维情况下就是平衡树,以 \(key\) 为标准判断插入左儿子还是右儿子

\(kdtree\) 就是平衡树在多维空间的扩展
因为有多维,我们按不同维度交错作为关键字进行插入与查询
如:第一层按照第一维排序,第二层按照第二维排序,第 \(k\) 层按照第 \(k\) 维排序
每一层取该维的中位数,把空间中的点分割开来,分别作为当前点的左右儿子,直到该层只有一个点停止

实现与运用

在 \(OI\) 中,运用最多的是二维的情况,一般当作优秀的暴力来用
如查询离某个点最远/近的点,插入一个点........

首先可以定义一个类,方便每一层排序和分割使用,定义一个重载运算符 \([x]\) 就可以方便的以第 \(x\) 维排序了

struct data{
    int a[K],mn[K],mx[K],l,r;
    inline int& operator [](int x){return a[x];}
}t[N];
inline bool operator <(data p,data q){return p[D]<q[D];}

\(build\) 操作

inline int build(int l,int r,int k){
    D=k;
    int mid=(l+r)>>1,o=mid;
    nth_element(t+l,t+mid,t+r+1);
    for(int i=0;i<2;i++)t[o].mn[i]=t[o].mx[i]=t[o][i];
    if(l<mid)t[o].l=build(l,mid-1,k^1);
    if(r>mid)t[o].r=build(mid+1,r,k^1);
    return upd(o),o;
}

用到了 \(STL\) \(nth\_element\), 这个系统函数支持查找第 \(k\) 大数,并实现分割的效果
具体来说,\(nth\_element(a+1,a+mid,t+r+1)\) 后,会把 \(a\) 数组中第 \(mid\) 大的数放到第 \(mid\) 位置,并把小于 \(mid\) 的放到 \(mid\) 这个位置之前,大于的放到后面(但左右内部都是无序的),完美的达到了分割的效果

\(query\) 操作:

拿查询离某个点最远的点举例
我们需要定义一个估价函数:
例子中也就是不管合法性的情况下,离这个点可能的距离的最大值,把两维分开考虑相加即可
一半来说是维护一个最小矩形,使得这个节点子树内的节点都可以被包含,查询时与这个矩形有交才往下递归
一次查询的复杂度期望是 \(O(n^{1-1/k}+m)\) m---每次要搜索的最近点个数

inline int cmax(int o){
    if(!o)return 0;
    int ret=0;
    for(int i=0;i<2;i++)
        ret+=max(abs(t[o].mx[i]-t[I][i]),abs(t[o].mn[i]-t[I][i]));
    return ret;
}

求出两个儿子的估价函数之后,先递归较优的一边,判断是否可能比答案更优,不可能优则不递归

inline void qmax(int o){
    int dl=cmax(t[o].l),dr=cmax(t[o].r),dc=dis(o);
    tmax=max(tmax,dc);
    if(dl>dr){
        if(dl>tmax)qmax(t[o].l);
        if(dr>tmax)qmax(t[o].r);
    }
    else{
        if(dr>tmax)qmax(t[o].r);
        if(dl>tmax)qmax(t[o].l);
    }
}

\(insert\) 操作

与平衡树类似,判断与当前节点大小关系判断左右走向,可以用定期重构稳定复杂度,数据范围较大时,不重构效果更好

inline int ins(int o,int k){
    if(!o)return cnt;
    if(e[k]>t[o][k])t[o].r=ins(t[o].r,k^1);
    else t[o].l=ins(t[o].l,k^1);
    return upd(o),o;
}