三个公式的证明

以下我在知道结论后自己证出的三个公式，相互关联的。虽然不难，但还是有一定成就感，顺便学习一下markdown怎么编辑数学公式
markdown数学公式

1.和角公式

$∠AOB=\alpha$
$∠BOD=\beta$
$S\Delta AOC+S四边形 ABDC=S\Delta AOB+S\Delta BOD$
$[\cos(\alpha+\beta)\cdot\sin(\alpha+\beta)/2]+\lbrace[\sin\beta+\sin(\alpha+\beta)] \cdot[\cos\beta-cos(\alpha+\beta)]\rbrace=(1\times1\cdot\sin\alpha/2)+(\sin\beta\cdot\cos\beta/2)$
各项拆开，化简后得到：
$\sin\alpha=\sin(\alpha+\beta)\cos\beta-\sin\beta\cos(\alpha+\beta)$
$\cos$，$\tan$也同理可证

2.向量旋转公式

$A(x2,y2)$
$B(x1,y1)$
$∠AOB=\alpha$
$∠BOC=\beta$
设$l=\sqrt{x1^2+x2^2}$
则$C(l,0)$
$A(l\cos(\alpha+\beta),l\sin(\alpha+\beta))$
$B(l\cos\beta,l\sin\beta)$
所以
$x1=l\cos\beta$
$y1=l\sin\beta$
根据和角公式，$A(l\cos\alpha\cos\beta-l\sin\alpha\sin\beta,l\sin\alpha\cos\beta+l\cos\alpha\sin\beta)$
$A(x1\cos\alpha-y1\sin\alpha,x1\sin\alpha+y1\cos\alpha)$
在复平面中时，根据欧拉公式
$(x1\cos\alpha-y1\sin\alpha)+(x1\sin\alpha+y1\cos\alpha)i=(x1+y1\cdot i)(\cos\alpha+\sin\alpha\cdot i)=(x1+y1\cdot i)\cdot e^{i\alpha}$

3.复数的ln

$A(a,b)$
$B(\sqrt{a^2+b^2},0)$
则$\vec{OA}=a+bi$
$\vec{OB}=\sqrt{a^2+b^2}$
设$\theta=∠AOB$
则$\vec{OA}=\vec{OB}\cdot e^{i\theta}$
$a+bi=\sqrt{a^2+b^2}\cdot e^{i\theta}$
两边同时ln，因为$\theta=arctan \frac{b}{a}$
所以$ln(a+bi)=\frac{ln(a^2+b^2)}{2}+arctan \frac{b}{a}\cdot i$
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