某乡有n个村庄(1< n < 20),有一个售货员,他要到各个村庄去售货,各村庄之间的路程s(0 < s < 1000)是已知的,且A村到B村与B村到A村的路大多不同。为了提高效率,他从商店出发到每个村庄一次,然后返回商店所在的村,假设商店所在的村庄为 1,他不知道选择什么样的路线才能使所走的路程最短。请你帮他选择一条最短的路。
输入
村庄数n和各村之间的路程(均是整数)。
输出
最短的路程
样例输入
3 {村庄数} 0 2 1 {村庄1到各村的路程} 1 0 2 {村庄2到各村的路程} 2 1 0 {村庄3到各村的路程}
样例输出
3
旅行商问题是np问题,在集合表示那里用set去实现效率很很低,而且要保存的数都是不重复的比较小的整数,所以这里用二进制串表示集合。比如集合{1,3,5,6,7}表示成二进制串用1110101,其中集合里面有的数对应的位数写成1,没有的写成0。要判断第3位是不是1,就把 1110101右移(3-1)位,得到11101,然后结果和00001进行 & 运算,如果结果是1说明第3位是1,否则说明第3位是0。
推广一下,对于数字x,要看它的第i位是不是1,那么可以通过判断布尔表达式 (((x >> (i - 1) ) & 1) == 1的真值来实现。
对于下面这个测试用例,图和邻接矩阵如下,不能走的话用-1表示,实际存储的时候用一个比较大的数字,比如0x7ffff:
要使用动态规划,需要问题本身有最优子结构,我们需要找到要解决的问题的子问题。
题目要求,从0出发,经过[1,2,3]这几个城市,然后回到0,使得花费最少。要实现这个要求,需要从下面三个实现方案中选择花费最少的方案。
1、 从0出发,到1,然后再从1出发,经过[2,3]这几个城市,然后回到0,使得花费最少。
2、 从0出发,到2,然后再从2出发,经过[1,3]这几个城市,然后回到0,使得花费最少。
3、 从0出发,到3,然后再从3出发,经过[1,2]这几个城市,然后回到0,使得花费最少。
可以发现,三个小的解决方案的最优解,构成了大的解决方案,所以这个问题具有最优子结构,可以用动态规划来实现。
设置一个二维的动态规划表dp,定义符号{1,2,3}表示经过[1,2,3]这几个城市,然后回到0。
那么题目就是求dp[0][{1,2,3}]。将{1,2,3}表示成二进制,就是111,对应10进制的7,所以题目是在求dp[0][7];
要求三个方案的最小值意味:
dp[0][{1,2,3}] = min{ C01+dp[1][{2,3}] ,C02+dp[2][{1,3}] ,C03+dp[3][{1,2}]}
其中C01 表示从0出发到1的距离。
dp[1][{2,3}] = min{ C12+dp[2][{3}] ,C13+dp[3][{1}]}
dp[2][{3}] = C23+dp[3][{}]
dp[3][{}]就是从3出发,不经过任何城市,回到0的花费,所以dp[3][{}] = C30
先确定一下dp表的大小,有n个城市,从0开始编号,那么dp表的行数就是n,列数就是2^(n-1),即1 << (n – 1),集合{1,2,3}的子集个数。在求解的时候,第一列的值对应这从邻接矩阵可以导出,后面的列可以有前面的列和邻接矩阵导出。所以求出的动态规划表就是:
j = 0 第一轮
for(int i =0;i <n;i++){ dp[i][0] = C[i][0]; }
第二轮
j = 1; //可以把j带入 for(int i = 0;i < n;i++){ dp[i][j] = C[i][1]+dp[1][0] }
后面的规律比较麻烦的一点在于要集合和二进制转换,观察发现:
dp[2][5] 表示从2出发,通过{1,3},最后回到起点。那么:
dp[2][5] = min{C21 + dp[1][{3}],C23 + dp[3][{1}]} = min{C21 + dp[1][4],C23 + dp[3][1]} ;
从2出发,要去{1,3}。
先看去1的路,去了1集合{1,3}中只剩下{3} ,{3}对应4,所以要求的dp表就是dp[1][4],这个4可以通过(101) ^ (1)得到,(1) = 1<<(1-1)
再看去2的路,5 = 101的第二位是0,所以不能去2。判断第二位为1,用(5>>(2-1)) &1==1。而且也由于从2出发,就更不能去了。
最后看去3的路,去了3集合{1,3}中只剩下{1},{1}对应这1,所以要求的dp表就是dp[3][1],1通过(101) ^ (100)得到。(100) = 1<<(3-1)
同样求dp[0][7] = min{C01 + dp[1][6], C02+ dp[2][5], C03 + dp[3][3]}
从0出发,要去{1,2,3}
先看去1的路,去1然后去6 = {2,3},6通过(111) ^ (1)得到,(1) = 1<<(1-1)
再看去2的路,去2然后去5 = {1,3},5通过(111) ^ (10)得到。(10) = 1<<(2-1)
最后看去3的路,去3然后去3 = {1,2},3通过(111) ^ (100)得到。(100) = 1<<(3-1)
还要注意,求dp[2][3]的时候。就是求从2出发,经过{1,2},显然不合理,在dp表中应为-1。对于这种情况,只用判断数字3的二进制位的第2位是不是1,是1就表示不合理。
根据以上的推导,最后求dp表的算法就是:
for(int j = 1;j < 1 << (n - 1);j++){ for(int i= 0;i < n;i++){ dp[i][j] = 0x7ffff; if(((j >> (i - 1)) & 1) == 1){ continue; } for(int k = 1;k < n;k++){ if(((j >> (k - 1)) & 1) == 0){ continue; } if(dp[i][j] > C[i][k] + dp[k][j ^ (1 << (k - 1))]){ dp[i][j] = C[i][k] + dp[k][j ^ (1 << (k - 1))]; } } } }
最终程序的返回值就是dp表左上角的那个数字return dp[0][(1<<(cityCount - 1)) - 1];
一个完整运行的例子是:
#include<iostream> #include<string.h> #include<algorithm> #include<cmath> #include<map> #include<string> #include<stdio.h> #include<vector> #include<stack> using namespace std; int dp[25][(1 << 21)]; int main() { int n; while (cin >> n) { int mp[25][25]; memset(dp, 2, sizeof(dp)); for (int i = 0;i < n;i++) { for (int j = 0;j < n;j++) { cin >> mp[i][j]; } } //初始化每个点到起点的距离。 dp[0][0] = 0; for (int i = 0;i < n;i++) { dp[i][0] = mp[i][0]; } //开始dp for (int j = 0;j < (1 << (n-1));j++) { for (int i = 0;i < n;i++) { //排除掉i到后面集合最短距离的后面集合中有i点的情况 if (((j >> (i - 1))&1) != 1) { for (int k = 1;k < n;k++) { //如果集合状态中有第k位位1 if (((j >> (k - 1))&1) == 1) { dp[i][j] = min(dp[i][j], mp[i][k] + dp[k][(j^(1 << (k - 1)))]); } } } } } cout << dp[0][(1 << (n-1)) - 1] << endl; } return 0; }