差分约束与拓扑排序

差分约束

求解差分约束系统，都可以转化为图论中单源最短路问题

对差分约束中的不等式 $x_i-x_j\le c_k$ 可以移项成 $x_i\le c_k+x_j$

为什么差分约束可以与最短路联系？

比如有三个不等式

• $B-A\le c(1)$

• $C-B\le a(2)$

• $C-A\le b(3)$
  

如果要求 $C-A$ 的最大值，可知 $\max (C-A)=min(b,a+c)$

• 如果存在负环，则最短路无限小，最短路不存在
  • 在不等式约束上表现为 $x_i-x_1\le T$
  • 得出的结论就是 $x_i$ 的结果不存在
• 终点不可达
  • 表明变量 $x_i$ 与变量 1 之间没有约束关系
  • $x_i$ 的结果可以是无限大

不同不等式的转化

• 我们使用小于等于号，跑最短路，求得是一组最大解
• 使用大于等于号，跑最长路，可以求得一组最小解
  • Dijkstra
    • 如果图中存在负权边，不能求最短路
    • 如果图中存在正权边，不能求最长路
  • SPFA
    • 初始化值改为负无穷
    • 更新的大于号改成小于号

拓扑排序

给一个图中所有节点排序，图中的节点有一些前置节点

• 比如学完高数才能学机器学习，就给一条高数到机器学习的有向边

如果图中存在环路，就没法拓扑排序了。同时，可以用拓扑排序判断图中是否有环

拓扑排序的目标是将所有节点排序，使得排在前面的节点不能依赖于排在后面的节点

Kahn算法

• 将入度为 0 的点组成一个集合 $S$
• 每次从 $S$ 里面取一个节点 $u$ 放入 L，然后遍历 $u$ 的所有边 $(u,v)$，并删除这个边。
  • 如果 $v$ 在移除这条边后入度为 0，则将其加入 $S$
• 最后 $S$ 为空后，检查图中是否存在任何边。
  • 若有，则图中有环路
  • 否则返回 L，L中的顺序就是拓扑排序的结果

bool toposort(){
    q = new queue();
    for(int i = 0; i < n; i++)
        if(in_deg[i] == 0) q.push(i);
    ans = new vector();
    while(!q.empty()){
        u = q.pop();
        ans.push_back(u);
        for each edge(u, v)
            if(--in_deg[v] == 0) q.push(v);
    }
    if(ans.size() == n){
        for(int i = 0; i < n; i++)
            cout << ans[i] << endl;
        return true;
    }
    else return false;
}