【BST】235. 二叉搜索树的最近公共祖先

题目描述

(简单)给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。
百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大(一个节点也可以是它自己的祖先)。”
例如，给定如下二叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]

示例：

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8
输出: 6 
解释: 节点 2 和节点 8 的最近公共祖先是 6。

解题思路

本题是一道典型的二叉排序树搜索题！虽然经过题目的包装，但也要保持对其二叉排序树本质的敏锐性。

给出结论，从根节点出发，第一次访问的在p、q节点之间的节点即为最近公共祖先。

为什么一定是第一次呢？下面从正反两种思路论证：

1. 正向思考，先不考虑最近，想一想什么是公共祖先？祖先，父节点、父节点的父节点等等，即从根节点出发，沿二叉树搜索路径上所有目标节点的上级节点。公共，即节点p与节点q路径上的重合节点。此时考虑最近，即重合路径上的最后一个节点，出现分叉的节点！那么，什么时候路径会分叉呢？当目标区间小于当前节点时，从该节点出发的路径只有一条，右转，同理目标区间大于当前节点。故只有在目标区间内，才会产生分歧。区间的开闭如何考虑？鉴于一个节点也可以是它自己的祖先，故为左闭右闭的闭区间。
2. 反过来思考，最近公共祖先是第一次访问区间内节点与p/q节点之间的节点可能吗？考虑到二叉排序树的特性：左根右，左子树的最大值小于根节点，右子树的最小值大于根节点。因此，将第一次访问区间内的节点视为根节点，其将目标区间分割成两个区域，大于根节点与小于根节点。进一步想，根节点左子树下节点的右子树，理论上无法到达目标区间的右端点！同理，根节点右子树下节点的左子树，理论上无法到达目标区间的左端点。因此，既然无法到达p/q种某一节点，怎么能是公共祖先呢？更不必考虑最近！

理清楚上述逻辑后，本体的简单性暴露无遗，直接上代码！

代码实现

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
    
    
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
    
    
        //空指针直接返回，避免或许逻辑上抛出空指针异常
        if(!root) return root;
        //确保p为区间左端点，q为区间右端点
        if(p->val > q->val) swap(p, q);
        //访问到区间内端点立即返回
        if(root->val >= p->val && root->val <= q->val) return root;
        //向右搜索
        if(root->val < p->val) return lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        //向左搜索
        else return lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
    }
};

运行结果：