搜索树结点数的估计（回溯法）

在做复杂性分析的时候，采取的都是上界，但是要做实际的估计就不是这样的。比如在搜索的时候着色问题根据图的结构的不同，真正在做调色的时候调色空间大小其实是不太好估计的，搜索空间的树，到底有多少个搜索结点需要搜索，到底有多大，因为中间有剪枝，剪枝又与图有关系，所以这个时候不太好做精确的估计的，这个时候可以采取的办法叫做蒙特卡洛搜索法。

一、Monte Carlo方法

随机的选择一些路径，随机的进行赋值，然后找到一条路径（不一定非得到达叶结点中间也可能结束掉），然后随机的找出路径来进行采样，然后看一看它们的概率是多少，根据这个概率来算期望值，这是一种搜索树结点数量的一种方法。

1、 从根开始，随机选择一条路经

直到不能分支为止,
$$即从x_1,x_2,\dots ,依次对x_i赋值，每个x_i的值是从当时的S_i中随机选取，直到向量不能扩张为止.$$

2、假定搜索树的其他$$|S_i|-1$$个分支与以上随机选出的路径一样，计数搜索树的点数.

3、 重复步骤1 和2，将结点数进行概率平均

二、伪码

输入：n 为皇后数，t 为抽样次数
输出：sum, 即t 次抽样路长平均值

1． sum←0 
2．for i←1 to t do  // 取样次数t
3.       m←Estimate(n)// m为结点数
4.       sum ←sum + m
5.  sum ←sum / t 

三、4后搜索树遍历的结点

4皇后问题的所有结点如图，结点个数是17

结点数=17

1、随机选择路径1

随机寻找的过程，也就是解有一个向量，向量的构成<X1,X2,…Xn>，在向量里进行赋值，随机的赋一个值，把赋的值看它有没有可能往下延伸的可能性。

比如找到一条路径（虽随机选择的路径），随机赋值来选择的路径选出来，路径长度是<1，4，2>，估计所有的可能性，这条路径在这个树里面：第一个结点有4种选择；第二个结点有2种选择；第三个结点有1种选择。

有8条路径是可以重复的，用结点进行复制，认为所有的结点都是这么长，用随机选择的一条路径是所有路径的拷贝，所有路径都是它的一种复制，用它来估计一下是21。

2、随机选择路径2

如果我们再随机选择一条路径，认为其他的路径都是按照这种方法走下来的，都是这样的一种选择，这个时候就相当于结点数估计出来有17个。

这条路径它中间没有任何的分支，把它复制一下，就有4条，也就是说它在第一个结点发现有4个分支（第一种选择有4种），所以就把它复制4次，把所有的结点数，这个地方就有4x4+1个结点，我们认为随机找一条给它复制。

当然复制的时候，要考虑它的分支的个数，比如说路径2往下面走的结点没有别的任何分支，只有第一个结点处有4种选择，所以说给它复制4次。

3、随机选择路径3

随机赋值选出来的路径，第一个分支有4种选择，第二个分支的时候有两种选择。

所以第一个路径这个点单独抽出来复制4次，然后第二个路径这个点，有两种选择，给它复制2次，认为随机找一条代替所有，复制完成后把结点数算出来，接下来再随机选，当选择次数越选越多的时候，这个时候就可以来抽样。

4、估计结果

假设4 次抽样测试：
case1: 1次，
case2: 1次，
case3: 2次，
平均结点数=(21×1+17×1+13×2)/4=16
搜索空间访问的结点数为17

每次假如选择的一条路径，对这条路径做完整的复制以后，把它的结点数作为搜索空间结点数的一个估计，采样了多次，根据大数定律去估计平均值和期望值是多少。

最后估计出来发现是16，但实际上是17，这个值就可以做成它的一个很好的估计值，这个就是搜索树里面的蒙特卡洛方法。

四、实例

抽样的时候要注意，在复制的时候有一个分支，在搜索树的分支里面，选出和它路径一样的随机树，一样的点。

1、一次抽样

m为本次取样得到的树结点总数
k 为层数
$$r_2为上层结点数$$
$$r_1为本层结点数$$
$$r_1=r_2\cdot 分支数$$
n 为树的层数
从树根向下计算,随机选择,直到树叶.
$$r_2=2$$
$$r_1=r_2\cdot 3=6$$

2、子过程的伪码

算法Estimate(n)

1.  m←1;  r2←1;  k←1// m 为结点总数
2.  while k≤ndo
3.     if  Sk=∅then  return  m
4.    r1←|Sk|*r2      // r1为扩张后结点总数
5.     m←m+r1      //  r2为扩张前结点总数
6.     xk←随机选择Sk的元素
7.     r2←r1
8.     k←k+1 

五、总结

Monte Carlo 方法

1、目的：估计搜索树真正访问结点数

2、步骤： 随机抽样，选择一条路径

用这条路径代替其他路径
逐层累加树的结点数
多次选择，取结点数的平均值