[WFOI]翻转序列

题目

传送门 to luogu

吐槽：洛谷月赛搞这个构造 $\text{master}$ 题目，把我心态整个搞炸了……

思路

题解中说，“顺藤摸瓜” 即可。可是，藤虽然找到了，往上一摸，却只摸到了花生……

最自然的想法是，从左往右填好数字。如果后面有很多空位，那么翻转啥的都不重要，直接将翻转视为移动末端元素 $x$ 步的操作。直到最后，到 $i$ 的距离在 $x$ 到 $2x$ 之间时，稍微走短一点，走到 $i+x$ 就行了。

$\mathrm{B}\mathrm{t}\mathrm{w}$，一定有 $2\nmid x$，否则数字下标的奇偶性无法改变。

然而最后的空位很少时，数字可能最初到 $i$ 的距离就在 $x$ 内，比如恰好在 $i+x-1$ 的位置。这时候，我们要让它落到 $i+x$ 去，就需要 $i+x+\frac{x+1}{2}-1⩽n$ 即 $i⩽n-\frac{3x-1}{2}$ 。于是最后会留下 $n-i=\frac{3x-1}{2}$ 长度的无法操作区间。怎么办？

显然我们会希望有一种方案，能够在不变动已经排好的位置的同时，将两个相邻数字交换。先分析一下 $(x-1)$ 和 $(x+1)$ 能拿来干什么吧。着重分析两次操作的结果——因为操作次数一定是偶数，否则有一段较长区间的顺序会被颠倒；这偶数次中，又很可能是 两两一组，组内的操作几乎是互相抵消影响的。

如果两次操作是同一个：连续翻转两个相邻的长度为 $L$ 的区间，比如 $[1,L]$ 和 $[2,L+1]$，会怎么样？画图可以看到，就是让 $A_L,A_{L+1}$ 同时往前移动了 $(L-1)$ 步。

如果两次操作不是同一个：先翻转 $[1,x)$，然后是 $[1,x+1]$，效果如何？就是让 $A_x$ 和 $A_{x+1}$ 同时前进了 $(x-1)$ 步，然后交换位置。先 $[2,x]$ 再 $[1,x+1]$ 呢？就是将 $A_1$ 和 $A_{x+1}$ 交换位置。其余情况的影响较大，我们姑且不要试图使用。

此时我们发现，有两个几乎可以完成 “交换位置” 的操作：让两个数字同时前进 $(x-1)$ 步之后换位置，再连续操作相邻长度为 $(x-1)$ 区间使得其后退 $(x-2)$ 步。很可惜 $L$ 不能取 $x$ 啊；这只能做到让两个下标差为 $2$ 的数字交换位置。

所以，如果最后剩余的数字，需要移动的距离都是偶数，就可以完成目标。于是看看哪个操作是可以改变奇偶性的：两个数字同时往前移动 $(L-1)$ 步就可以，因为 $2\mid L$ 。那么我们就可以让两个相邻数字的所需步数奇偶性同时变化。

而总步数是 $\sum |p_i-i|\equiv \sum p_i-\sum i=0$，这说明一定有偶数个这样的数字。由于变化过程中会移动，我们先把它们聚集起来，然后统一绞杀即可。

怎么聚集呢？还需要注意到，这样的数字有一个特点，就是 奇数和偶数的数量相等，无论是值还是下标。道理也很简单，因为 $⟨i⟩$ 和 $⟨p_i⟩$ 是相同的，所以二者中的奇数个数、偶数个数分别相等。那么 $i\equiv p_i$ 对于判定无影响，剩余的两种情况数量应当相等；而这两种情况就是所需步数为奇数的数字。

于是我们就用 “交换距离为 $2$ 数字” 的方法，就可以让所有这样的数字跑到序列最后去（毕竟奇数偶数个数相同），然后统一 “绞杀” 就行了。

最后我们分析一下 $x$ 的取值。

• 第一步，移动大约 $n-\frac{3x}{2}$ 的数字，步数约为 ${\sum }_{i=\frac{3x}{2}}^n\lceil \frac{i}{x}\rceil \approx \frac{n^2}{2x}-\frac{9x}{8}$ 。
• 第二步，将所有 “有罪” 的数字移到序列最末，最多 ${\sum }_{i=1}^{\frac{3x}{2}}\lceil \frac{i}{2}\rceil \approx \frac{9x^2}{16}$ 次移动操作，乘以 $4$ 的代价就是实际操作次数 $\frac{9x^2}{4}$ 。
• 第三步，统一 “绞杀”。最多花费 $\frac{3x}{2}$ 次操作。
• 第四步，重新排序。因为 “绞杀” 时，会往前移动 $(x-2)$ 步，所以现在有 $\frac{5x}{2}$ 的数字需要慢慢放好位置了。需要 $\frac{25x^2}{16}$ 次移动操作，共 $\frac{25x^2}{4}$ 次翻转。

于是我们应当求该函数的最小值点：
$$\frac{n^2}{2x}-\frac{9x}{8}+\frac{9x^2}{4}+\frac{3x}{2}+\frac{25x^2}{4}=\frac{n^2}{2x}+\frac{17x^2}{2}+\frac{3x}{8}$$

求导可知最值点是 $17x-\frac{n^2}{2x^2}+\frac{3}{8}=0$，约为 $17x=\frac{n^2}{2x^2}$ 即 $x=\sqrt[3]{\frac{n^2}{34}}$，代入上式得 $\sqrt[3]{n^4}\left(\frac{\sqrt[3]{34}}{2}+\frac{17\sqrt[3]{34^2}}{2}\right)$，可见 $n$ 越大比值越大。取 $n=10^3,x=31$ 计算出的结果约为 $24.3\text{k}$；但是上面的极限情况都无法达到，足已通过。

代码

代码看上去倒也极简单（因为思路的分析本身已经挺难的了），却让我打了对拍才找到错误……

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){
    
    
	int a = 0, c = getchar(), f = 1;
	for(; !isdigit(c); c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}

const int MAXN = 1005;
int a[MAXN], n;

int ans[20*MAXN], tot;
void rev(int l,int r){
    
    
	ans[++ tot] = n*l+(r-1);
	std::reverse(a+l,a+r+1);
}
/// @warning ( @p l + @p r ) should be odd
void flip(int l,int r,const int x){
    
    
	const int mid = (l+r)>>1;
	return rev(mid-(x-1)/2,mid+(x+1)/2);
}

void two_steps_swap(int v,const int x){
    
    
	rev(v-x,v); // length = x+1
	drep(j,v,v-2) rev(j-x+2,j); // x-1
}

int main(){
    
    
	n = readint();
	int x = (n < 100) ? 3 : int(round(
		pow(n*n/double(34),double(1)/3.0)));
	if((x^1)&1) -- x; // have to be odd
	rep(i,1,n) a[i] = readint();
	for(int i=1,pos; i+x+(x-1)/2<=n; ++i){
    
    
		rep(j,pos=i,n) if(a[j] == i) pos = j;
		while(pos > i+x) rev(pos-x,pos), pos -= x;
		if(pos != i && pos != i+x){
    
    
			if((pos^i^x^1)&1) // twice twist
				flip(pos,i+x-1,x), pos = i+x-1;
			if(pos != i+x) // haven't hit the target
				flip(pos,i+x,x), pos = i+x;
		}
		if(pos != i) rev(i,i+x); // assert(pos == i+x);
	}
	const int L = n-x-(x-1)/2;
	if(x == 3){
    
     // easist way
		rep(i,1,n) rep(j,1,n-1) // Bubble Sort
			if(a[j] > a[j+1]) rev(j,j+1);
		goto SCHEME; // just output the answer
	}
	rep(j,L+1,n) rep(i,L+1,n-2) // Bubble Sort
		if((a[i]^i)&(a[i+2]^i^1)&1)
			two_steps_swap(i+2,x);
	for(int i=L+1; i!=n; ++i) // execute!
		if((a[i]^i)&(a[i+1]^i^1)&1)
			rev(i-x,i), rev(i-x+1,i+1);
	rep(j,L-x,n) rep(i,L-x,n-2) // Bubble Sort
		if(a[i] > a[i+2]) two_steps_swap(i+2,x);
SCHEME:
	printf("%d\n%d\n",x,tot);
	rep(i,1,tot) printf("%d %d\n",ans[i]/n,ans[i]%n+1);
	return 0;
}