【LeetCode 二叉树专项】最大二叉树（654）

1. 题目

给定一个不含重复元素的整数数组 nums 。一个以此数组直接递归构建的最大二叉树定义如下：

1. 二叉树的根是数组 nums 中的最大元素；
2. 左子树是通过数组中 最大值左边部分 递归构造出的最大二叉树；
3. 右子树是通过数组中 最大值右边部分 递归构造出的最大二叉树。

返回有给定数组 nums 构建的 最大二叉树 。

1.1 示例

• 示例 $1$ ：

• 输入： nums = [3, 2, 1, 6, 0, 5]
• 输出： [6, 3, 5, null, 2, 0, null, null, 1]
• 解释： 递归调用如下所示：
  • [3, 2, 1, 6, 0, 5] 中的最大值是 6 ，左边部分是 [3, 2, 1] ，右边部分是 [0, 5] 。
    • [3, 2, 1] 中的最大值是 3 ，左边部分是 [] ，右边部分是 [2, 1] 。
      • 空数组，无子节点。
      • [2, 1] 中的最大值是 2 ，左边部分是 [] ，右边部分是 [1] 。
        • 空数组，无子节点。
        • 只有一个元素，所以子节点是一个值为 1 的节点。
    • [0, 5] 中的最大值是 5 ，左边部分是 [0] ，右边部分是 [] 。
      • 只有一个元素，所以子节点是一个值为 0 的节点。
      • 空数组，无子节点。

1.2 说明

• 来源： 力扣（LeetCode）
• 链接： https://leetcode-cn.com/problems/maximum-binary-tree

1.3 限制

• 1 <= nums.length <= 1000
• 0 <= nums[i] <= 1000
• nums 中的所有整数 互不相同

2. 解法一

2.1 分析

实际上，从题目要求就可以看出，此题需要使用递归的方式直接构建最大二叉树最为方便。

2.2 实现

from collections import deque
from typing import List, Optional


class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left: 'TreeNode' = None, right: 'TreeNode' = None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right


class Solution:
    def construct_maximum_binary_tree(self, nums: List[int]) -> Optional[TreeNode]:
        if not nums:
            return
        maximum = max(nums)
        index = nums.index(maximum)
        root = TreeNode(maximum)
        root.left = self.construct_maximum_binary_tree(nums[:index])
        root.right = self.construct_maximum_binary_tree(nums[index + 1:])
        return root


def main():
    nums = [3, 2, 1, 6, 0, 5]
    sln = Solution()
    root = sln.construct_maximum_binary_tree(nums)

    tree = []
    visiting = deque([root])
    while visiting:
        node = visiting.popleft()
        if node:
            tree.append(node.val)
            visiting.append(node.left)
            visiting.append(node.right)
        else:
            tree.append(None)

    while True:
        if not tree[-1]:
            tree.pop()
        else:
            break
            
    print(tree)  # [6, 3, 5, None, 2, 0, None, None, 1]


if __name__ == '__main__':
    main()

实际上，上述代码的空间复杂度还可以进一步优化，因为在上述的解法中在递归调用时重复使用了 Python 的列表切片操作，该操作是会额外的分配列表空间，在最坏的情况下即当给定列表有序时，最坏的空间复杂度为 $O(n^2)$ 。

对此，下面给出优化后的代码：

from collections import deque
from typing import List, Optional


class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left: 'TreeNode' = None, right: 'TreeNode' = None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right


class Solution:
    def _maximum_num(self, nums: List[int], start: int, stop: int) -> int:
        maximum = nums[start]
        for i in range(start + 1, stop + 1):
            if maximum < nums[i]:
                maximum = nums[i]
        return maximum

    def _maximum_binary_tree(self, nums: List[int], start: int, stop: int) -> Optional[TreeNode]:
        if start > stop:
            return
        maximum = self._maximum_num(nums, start, stop)
        index = nums.index(maximum, start, stop + 1)
        root = TreeNode(maximum)
        root.left = self._maximum_binary_tree(nums, start, index - 1)
        root.right = self._maximum_binary_tree(nums, index + 1, stop)
        return root

    def maximum_binary_tree(self, nums: List[int]) -> Optional[TreeNode]:
        return self._maximum_binary_tree(nums, 0, len(nums) - 1)


def main():
    nums = [3, 2, 1, 6, 0, 5]
    sln = Solution()
    root = sln.maximum_binary_tree(nums)

    tree = []
    visiting = deque([root])
    while visiting:
        node = visiting.popleft()
        if node:
            tree.append(node.val)
            visiting.append(node.left)
            visiting.append(node.right)
        else:
            tree.append(None)

    while True:
        if not tree[-1]:
            tree.pop()
        else:
            break

    print(tree)  # [6, 3, 5, None, 2, 0, None, None, 1]


if __name__ == '__main__':
    main()

针对上述代码，需要特别注意的几点为：

1. 之所以定义了一个 _maximum_num() 方法，是因为 Python 内置的 max() 函数并不支持通过指定可迭代对象的元素起始和终止索引的方式来查找最大值，这也就导致了一开始的解答中需要利用切片从原列表中获得指定起始和终止索引的列表；
2. 在 _maximum_num() 方法中，待返回值 maximum 的起始值不能随便指定，而需要是 nums[start:stop] 中的一个元素，否则会产生预料之外的问题；
3. 上述解答中在指定了 maximum = nums[start] 之后，做了一个细微的优化，即 for 循环迭代时选择 nums 的起始索引从 start + 1 开始。

2.3 复杂度

• 时间复杂度： $O(n^2)$。方法 maximum_binary_tree 一共被调用 $n$ 次。每次递归寻找根节点时，需要遍历当前索引范围内所有元素找出最大值。最坏的情况下，数组 nums 有序，总的复杂度为 $O(n^2)$ 。
• 空间复杂度： $O(n)$ 。递归调用深度为 $n$ 。平均情况下，长度为 $n$ 的数组递归调用深度为 $O(\log n)$ 。