BBR脆弱的公平性

前几个月，我写了一篇BBR算法的收敛动力学的文章：
https://blog.csdn.net/dog250/article/details/114727596
用一幅图描述了BBR的收敛过程，最终neal也是比较认可的。但我总觉得BBR这个收敛机制有点不是那么通透。

上周的时候，同事推荐了一篇讲如何优化BBR的论文，又一起聊了下关于BBR收敛的问题。

由于这篇论文是基于一个数学过程描述的，比我那个要简单得多，我想根据论文里的描述，再解释一下BBR脆弱的公平性，论文的链接如下：
https://13838019299791283621.googlegroups.com/attach/7a1ad8b39994e/improve_bbr-2.pdf

我们知道，一条连接的RTT分为3个部分，传输时延，排队时延，处理时延，在TCP端到端场景下，忽略处理时延，那么某时刻$t$，一条连接$i$的RTT为：

${RTT}_i={RTprop}_i+D_i(t)$

其中$RTprop$为传输时延，以下写为$T_i$。

于是，设时间$t$，连接$i$的inflight为$B_i(t)$，实际带宽${\lambda }_i(t)$可以写作：

${\lambda }_i(t)=\frac{B_i(t)}{T_i+D_i(t)}$

理论上，$D(t)$是比较小的，但在BBR收敛动力学的推导中却是不可忽略的，因为正是因为$D(t)$，BBR最终才会在ProbeRTT阶段收敛。

由于BBR的带宽增益是1.25，可以认为当前的$B(t)$是之前带宽增益的结果，如果这次带宽增益确实获得了实效，设$C_i(t)$为连接$i$在时刻$t$由BBR估计出来的带宽，那么:

$B_i(t{)}^{MAX}=1.25\times T_i\times C_i(t-8T_i)$

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前一个时间之所以是$t-8T_i$是因为BBR的ProbeBW周期就是8个RTT。

于是，可以在实际带宽${\lambda }_i(t)$和实际带宽$C_i(t)$之间建立关联了，如果某次BBR通过增益预估的带宽是正确的，那么：

$C_i(t)={\lambda }_i(t)=\frac{1.25T_i}{T_i+D(t)}\times C(t-8T_i)$

之所以不再区分$D_i(t)$是因为所有的流共享同一个queue buffer且pacing到达，因此它们的排队时延是一致的。

这下我们就找到了BBR MIMD的系数了，它就是 $\frac{1.25T_i}{T_i+D(t)}$

通过这个系数，我们可以清晰地看出排队时延和传输时延的关系对实际带宽的影响：

• 如果$D(t)$大于$0.25T_i$，那么带宽不增反减，说明此时已经资源过载了，这是BBR自动发现的。
• 如果$D(t)$小于$0.25T_i$，那么带宽会增加，仍有空余资源，但一般不会是1.25倍增益，除非完全不排队。

这意味着，BBR确实把queue buffer稍微(注意这个“稍微”)看作了一种资源，但不能大量占据。我们先画出增益函数的图像：

可以看出，无论如何，$T_i$越大，增益越大，这是一个单调递增函数，然而当$T_i$达到一定值的时候，增益就趋于等同，不再显著随着$T_i$的增加而增加，这说明，在不排队或者轻微排队的情况下，对于不同的$T_i$，增益是公平的。

同样的分析方法，如果排队时间显著增加，那么可以看出，增益随着$T_i$的增加明显增加，这是BBR RTT不公平的根源，即便是进入ProbeRTT也挽救不了。

同时，我还画了一个增益为5，排队为30的图像，这里点个题，调一手好参数的事情，就不再分析了。

先看$T_i$相同时的收敛图：

一个数学式子一气呵成我之前画的那个复杂图示。

为什么实际的MIMD会和理想情况有个夹角进而推动BBR收敛呢？我们知道，BBR在ProbeRTT后进行收敛，设${\lambda }_1<{\lambda }_2$，它们的$T_1=T_2=T$，如果${\lambda }_1$进入了ProbeRTT，那么实际上queue buffer并没有清空，${\lambda }_2$依然占据着它，因此这个时候${\lambda }_1$测量出的$T_1$是偏大的，即$T_1^{{}^{\prime }}>T$，这是这个差值造成了${\lambda }_1$增益大于${\lambda }_2$，进而造成了收敛。

一旦${\lambda }_2$进入ProbeRTT，那么queue buffer将基本清空，无论如何，${\lambda }_2$清空的都比${\lambda }_1$清空的多，进而导致自己测量的$T_2^{{}^{\prime }}$偏大，这就是BBR收敛的实质。

然而，如果$T_1\ne T_2$，那必然悲剧了：

因为${\lambda }_1<{\lambda }_2$，且$T_1<T_2$，${\lambda }_2$的增益系数比${\lambda }_1$大，双向加持，${\lambda }_1$将会被挤到虚无，万劫不复。

这就是脆弱的平衡！

至于如何改进，这篇论文里说的方法和我之前那个差不多，也是引入一个$\alpha$，不管怎样，引入一个参数是一个常规方案。

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