格局打开，带你解锁kd树

小知识，大挑战！本文正在参与“程序员必备小知识”创作活动。

前情回顾KNN：

假如我们现在有一个数据集，当给定一个新的实例时，最简单粗暴的方法就是计算它和所有点的距离，然后找到k个最近邻，最后根据多数表决的规则判断这个实例所属的类。

但是如果这个数据集中的训练实例非常多且密集，而且一个实例就有很多特征，那么就要计算出成千上万个距离，运算量极其庞大。

这时，我们就可以用一个更快速的计算方法——kd树。

什么是kd树

kd 树从根本上看，是一个二叉树结构，根据这个结构对k维空间进行不断的划分，每一个结点就代表了k维超矩形区域。

二维（k=2）的矩形区域：

三维（k=3）的矩形区域：

注意，kd树这里的k代表的是特征的个数，也就是数据的维度，而k近邻中的k指的是距离新实例点最近的k个邻居。

如何构造kd树

原理

输入： k维空间数据集：

$$T=\lbrace x_1,x_2,...,x_n \rbrace$$

x_i=(x_i⁽¹⁾，x_i⁽²⁾，...，x_i^(k))^T，x_i^(l)的上标代表的是第l个特征值

输出： kd树

1.开始：构造根结点。

在根结点处选择一个最优特征进行切割，一般通过比较每个特征上的方差来决定，方差最大的特征就是我们要选取的坐标轴。

假如我们选出来的是x⁽¹⁾，以它作为坐标轴，找切分点，将超矩形区域切割为两个子区域。通常选取x⁽¹⁾方向上数据的中位数作为切分点，由根结点生出深度为 1 的左右子结点，左结点的坐标小于切分点，右结点坐标大于切分点。

2.重复：剩余特征的选取与切割

继续对深度为j的结点，选择x⁽¹⁾为切分坐标轴，l=j(mod k)+1，以该结点区域中所有实例x⁽¹⁾坐标的中位数作为切分点，将区域不断分割为两个子区域。

3.停止：得到kd树

直到两个子区域没有实例时停止分割，即得到一棵 kd 树。

例题解说

输入：

$$T=\lbrace(2,3),(5,4),(9,6),(4,7),(8,1),(7,2)\rbrace$$

输出： kd 树

为了方便，给数据集里的数据点标号后进行可视化展示：

1.第一次切分

因为该训练数据集的维度是2，那么任选一个特征即可。不妨选择x⁽¹⁾为坐标轴，将x⁽¹⁾中的数据按照从小到大排序，分别是：2，4，5，7，8，9

中位数不妨选7，即以（7，2）为根结点，切分整个区域。

左边的就是小于7的子结点，右边的是大于7的子结点。

2.第二次切分

再次划分区域：

对第一个特征加1，以x⁽²⁾为坐标轴。

对于第一次切分后的左边区域而言，将x⁽²⁾中的数据按照从小到大排序，分别是：2，3，4，7

中位数取4，切分点坐标为 （5，4），再画一条横线进行第二次切分。

同样地，对第一次切分后的右边区域而言，将x⁽²⁾中的数据按照从小到大排序，分别是：1，6

因为只有两个点，不妨选择6作为切分点，右边区域切分点坐标为 （9，6） ，画一条横线进行第二次切分。

3.继续切分

第二个特征加1，以x⁽³⁾为坐标轴，而这里只有x⁽¹⁾和x⁽²⁾，所以只对x⁽¹⁾进行划分。或者直接计算2(mod 2)+1=1即可得到所选的特征。

可以明显看出A（2，3），D（4，7），E（8，1） 三个实例点还未切分，那么以这些点为根结点分别画一条垂直于x⁽¹⁾轴的线进行切分。

4.绘制kd树

这几次划分中的根结点分别是：

第一级：（7，2）

第二级：（5，4），（9，6）

第三级：（2，3），（4，7），（8，1）

根据这个层次绘制出kd树：

如何搜索kd树

原理

输入： 已构造的kd树，目标点是x

输出： x的最近邻

寻找“当前最近点”： 从根结点出发，递归访问kd树，找出包含x的叶结点，以此叶结点为“当前最近点”

回溯： 以目标点和”当前最近点“的距离沿树根部进行回溯和迭代，当前最近点一定存在于该结点一个子结点对应的区域，检查子结点的父结点的另一子结点对应的区域是否有更近的点。

当回退到根结点时，搜索结束，最后的”当前最近点“即为x的最近邻点。

例题解说

以上文生成的那棵kd树为例：

Case 1

输入： kd树，目标点 x=(2.1,3.1)

输出： 该目标的最近邻点

寻找当前最近点： 从根结点开始，x=(2.1,3.1)在根结点（7，2）的左子区域内，继续到（5，4）所确定的左子区域内，继续到（2，3）的右子区域中，（2，3）就是当前最近邻点。

回溯： 以（2.1，3.1）为圆心，以其与已确定的最近邻点之间的距离为半径画一个圆，这个区域里没有其他的点，那就证明（2，3）是（2.1，3.1）的最近邻点。

Case 2

输入： kd树，目标点 x=（2，4.5）

输出： 该目标点的最近邻点

寻找当前最近点： 从根结点开始，x=（2，4.5）在根结点（7，2）的左子区域内，继续到（5，4）所确定的上子区域内，继续到（4，7）的左子区域中，（4，7）就是当前最近邻点。

回溯： 我们以（2，4.5）为圆心，以（2，4.5）到（4，7）两点之间的距离为半径画一个圆，这个区域内有两个结点，分别是（2，3）和（5，4），通过计算（2，4.5）到这两点的距离，得出到（2，3）距离最近，那么（2，3）就是最邻近点。接着再以（2，4.5）为圆心，以（2，4.5）到（2，3）两点之间的距离为半径画一个圆，此时圆里没有其他的结点，说明可以确认（2，3）就是（2，4.5）的最近邻点。

参考资料：

简博士数据分析吧

视频资料：

3.3 k近邻法-什么是kd树

3.3 k近邻法-构造kd树

3.3 k近邻法-搜索kd树