LeetCode之快速幂算法

参考：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/95902286

https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/solution/pa-lou-ti-by-leetcode-solution/#comment

对于契科夫数列问题以及爬楼梯问题的解决办法。

#include <cstdio>
#define MOD 1000000007
typedef long long ll;

struct matrix
{
    ll a1, a2, b1, b2;
    matrix(ll a1, ll a2, ll b1, ll b2) : a1(a1), a2(a2), b1(b1), b2(b2) {}
    matrix operator*(const matrix &y)
    {
        matrix ans((a1 * y.a1 + a2 * y.b1) % MOD,
                   (a1 * y.a2 + a2 * y.b2) % MOD,
                   (b1 * y.a1 + b2 * y.b1) % MOD,
                   (b1 * y.a2 + b2 * y.b2) % MOD);
        return ans;
    }
};

matrix qpow(matrix a, ll n)
{
    matrix ans(1, 0, 0, 1); //单位矩阵
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            ans = ans * a;
        a = a * a;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll x;
    matrix M(0, 1, 1, 1);
    scanf("%lld", &x);
    matrix ans = qpow(M, x - 1);
    printf("%lld\n", (ans.a1 + ans.a2) % MOD);
    return 0;
}

思路是：将幂按照二进制位来解决，每次仅限底数的平方运算。

如果最后一位是1则多乘一个底数a

否则a*=a，为下次乘积做准备。

每次n右移一位，直到所有位0

时间复杂度从O(n)降低到O(logn)