HDU - 6755 Fibonacci Sum【Fibonacci数列的幂和】

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题意：给定 $N, C, K$ ，求 ${F_{0}}^K+{F_{C}}^K+{F_{2C}}^K+...+{F_{NC}}^K) \ mod\ 1e9+9$ ，其中 $F_i$ 是 $F i b o n a c c i$ 数列的第 $i$ 项。

思路：

三个前置知识：

$F i b o n a c c i$ 数列的通项公式： $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$
二项式定理： $(a+b)^n=\displaystyle \sum^{n}_{r=0}{ {n \choose r}a^rb^{n-r}}$
二次剩余：一个数 $a$ ，如果不是 $p$ 的倍数且模 $p$ 同余某个数的平方，则称 $a$ 为模 $p$ 的二次剩余。
暴力发现 5 是模 1e9+9 的二次剩余，并且发现 $383008016^2\equiv5 \ mod \ 1e9+9$

设 $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]=d(a^n-b^n)$ ，那么:

$d=276601605\equiv\frac{1}{\sqrt{5}}\ mod \ 1e9+9$
$a=691504013\equiv\frac{1+\sqrt{5}}{2}\ mod \ 1e9+9$
$b=308495997\equiv\frac{1-\sqrt{5}}{2}\ mod \ 1e9+9$

所以我们可以得到:

${F_{0}}^K+{F_{C}}^K+{F_{2C}}^K+...+{F_{NC}}^K\\=\displaystyle \sum^{N}_{i=0}{ {F_{iC}}^{K}}=\displaystyle \sum^{N}_{i=0}{[d(a^{iC}-b^{iC})]^k}\\=\displaystyle \sum^{N}_{i=0}{d^k \displaystyle \sum^{K}_{j=0}{ {K \choose j}(-1)^{K-j}(a^{iC})^j(b^{iC})^{K-j}}}\\=d^k\displaystyle \sum^{K}_{j=0}{ {K \choose j}(-1)^{K-j}\displaystyle \sum^{N}_{i=0}((a^{j}b^{K-j})^C)^i}$

可以发现 $\displaystyle \sum^{N}_{i=0}((a^{j}b^{K-j})^C)^i$ 是个等比数列， $q=(a^{j}b^{K-j})^C$
根据等比数列前 $n$ 项和公式可以求得 $Sn=\displaystyle \sum^{N}_{i=0}((a^{j}b^{K-j})^C)^i=\frac{q(q^N-1)}{q-1}$

这样的话，复杂度貌似是 $O (K * l o g (N))$

问题1：如何 $O (1)$ 求组合数取模呢？

已知组合数公式： ${n\choose m}=\frac{n!}{(n-m)!m!}$ ，因为 $K$ 的范围只有 1e5，所以我们可以 $O (K)$ 预处理求得 1e5 内的阶乘 $f a c [i]$ ，逆元 $i n v [i]$ 以及阶乘的逆元 $F a c I n v [i]$ 。
【用到了线性递推求逆元；
阶乘的逆元就递推即可： $F a c I n v [i] = F a c I n v [i - 1] * i n v [i]$ 】

问题2：如何 $O (1)$ 求 $q=(a^{j}b^{K-j})^C$ 呢？

我们发现当 $j(0\rightarrow K)$ 时，q也是个等比数列，公比为 $\displaystyle\frac{a^c}{b^c}$ ，所以我们可以循环前将 $\displaystyle\frac{a^c}{b^c}$ 算出来，然后每次循环乘上该公比即可。
初始 $q=(a^{0}b^{K})^C=(b^K)^C$ ，对于 $b^{K}$ 我们还是可以 $O (K)$ 预处理出幂的。

优化：欧拉降幂

我们发现 $N, C$ 的范围都是1e18，太大了。
因为 $p = 1 e 9 + 9$ 是个质数，和所有数都互质，所以我们可以利用欧拉降幂来优化快速幂： $a^c\equiv a^{c \ \% \ \psi(p)} \ mod \ p$ , 其中 $\psi(p)=p-1=1e9+8$

Code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define A 691504013
#define B 308495997
#define inv_rt_5 276601605
#define faiMod 1000000008
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

ll read()
{
    
    
    ll x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') {
    
     if(c == '-') f = -f; c = getchar(); }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
    
     x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    return x * f;
}

const int maxN = 100005;
const ll mod = 1000000009;

ll fpow(ll x, ll y) {
    
    
    ll base = x % mod, ans = 1;
    y %= faiMod;
    while(y) {
    
    
        if(y & 1) ans *= base, ans %= mod;
        base *= base, base %= mod;
        y >>= 1;
    }
    return ans % mod;
}
//ll fd, a, b, d;
//void Find() {
    
    
//    for(ll i = sqrt(mod);; ++ i ) {
    
    
//        if(i * i % mod == 5) {
    
    
//            fd = i; break;
//        }
//    }
//    d = fpow(fd, mod - 2);
//    a = (1 + fd) * fpow(2, mod - 2) % mod;
//    b = (1 - fd + mod) * fpow(2, mod - 2) % mod;
//}
ll N, C, K;
ll powA[maxN], powB[maxN];
ll fac[maxN], inv[maxN], FacInv[maxN];
void Init() {
    
    
    fac[0] = fac[1] = inv[1] = FacInv[0] = FacInv[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 100000; ++ i ) {
    
    
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
        inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
        FacInv[i] = FacInv[i - 1] * inv[i] % mod;
    }
    powA[0] = powB[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 100000; ++ i ) {
    
    
        powA[i] = powA[i - 1] * A % mod;
        powB[i] = powB[i - 1] * B % mod;
    }
}
ll getNCM(ll n, ll m) {
    
    
    return fac[n] * FacInv[m] % mod * FacInv[n - m] % mod;
}
int main()
{
    
    
//    Find();
    Init();
    const ll base = A * fpow(B, mod - 2) % mod;
    ll t; t = read();
    while(t -- ) {
    
    
        N = read(), C = read(), K = read();
        ll ans = fpow(inv_rt_5, K) % mod, sum = 0;
        ll q = fpow(powA[0] * powB[K], C);
        ll inc = fpow(base, C);
        for(ll i = 0; i <= K; ++ i ) {
    
    
            ll nCm = getNCM(K, i);
            if((K - i) & 1) nCm = mod - nCm;
            ll Sn = q;
            if(q == 1) {
    
    
                Sn = N % mod;
            } else {
    
    
                Sn *= (fpow(q, N) - 1), Sn %= mod;
                Sn *= fpow(q - 1, mod - 2), Sn %= mod;
            }
            sum += Sn * nCm, sum %= mod;
            q *= inc, q %= mod;
        }
        ans *= sum, ans %= mod;
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}