眼见不一定为实！电阻、电容和电感的实际等效模型

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信号完整性在高速电路中有着至关重要的作用，而很多信号完整性问题需要用「阻抗」的概念来解释和描述。

在高频信号下，很多器件失去了原有的特性，如我们经常听到的“高频时电阻不再是电阻，电容不再是电容”，这是咋回事呢？那就看今天的文章吧！

容抗的概念

电容有两个重要特性，一个是隔直通交，另一个是电容电压不能突变，先来看一下百度百科对容抗的解释。

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简单说，虽然交流电能通过电容，但是不同频率的交流电和不同容值的电容，通过时的阻碍是不一样的，把这种阻碍称之为容抗。

容抗与电容和频率的大小成反比，也就是说，在相同频率下，电容越大，容抗越小；在相同电容下，频率越高，容抗越小。

如何理解容抗与电容大小和频率成反比呢？

以RC一阶低通滤波器举例。

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Vin通过R1电阻对电容C1进行充电，Vin的电势加在电容C的两个金属极板上，正负电荷在电势差作用下分别向电容的两个极板聚集而形成电场，这称为充电过程。

若将Vin拿掉，在Vout上加一个负载R2（青色部分），电容两端的电荷会在电势差下向负载流走，这称为放电过程。（流过电容的电流并不是真正穿过了极板的绝缘介质，指的是外部的电流）

衡量电容充电的电荷数是Q，Q=CV，C是常量，所以电荷数和电压呈正比。

C=Q/V，电容量代表了电容储存电荷的能力，微分表达式为：

$C=\frac{dq(t)}{dv(t)}\tag{1}$

电流是单位时间内电荷数的变化量: $i(t)=\frac{dq(t)}{dt}\tag{2}$

结合(1)和(2)两个公式可得到： $i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}\tag{3}$

从公式可以看出：电容上的电流和电压的变化量是呈正比的，或者说电容上电压的变化量和电流是呈正比的。

即在电压一定时，电容越大，单位时间内电路中充、放电移动的电荷量越大，电流越大，所以电容对交变电流的阻碍作用越小，即容抗越小。

在交变电流的电压一定时，交变电流的频率越高，电路中充、放电越频繁，单位时间内电荷移动速率越大，电流越大，电容对交变电流的阻碍作用越小，即容抗越小。

容抗用 $X_{C}$ 表示，公式如下，其中 $f$ 是频率， $C$ 是容值

$X_{C}=\frac1{\omega C}$

因为（ $\omega=2\pi f$ ），所以容抗也可以用如下的公式表示：

$X_{C}=\frac1{2\pi fC}$

感抗的概念

如下是百度百度对感抗的解释，电感的特性是隔交通直，与电容是相反的；所以说容抗和感抗的性质和效果几乎正好相反，而电阻则处在这两个极端中间。
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感抗与电感的大小和频率成正比，也就是说，在同频率下，电感越大，感抗越大；在同电感下，频率越大，感抗越大。

感抗用 $X_{L}$ 表示，公式如下，其中 $f$ 是信号频率， $L$ 是感值

$X_{L}=\omega L$

因为（ $\omega=2\pi f$ ），所以感抗的公式可以用如下表示：

$X_{L}=2\pi fL$

感抗和容抗又被称为电抗，电路的总的阻抗Z由电阻R和电抗X组成。

掌握了预备知识，我们再来看电阻、电容和电感的实际等效模型。

理想的电阻、电容和电感就是如下的这样子，在实际中并不存在，在电阻里面会有寄生电容和寄生电感的存在，在电容里面会有寄生电阻和寄生电感的存在，在电感里面有寄生电阻和寄生电容。

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理想电阻

理想电阻的阻抗即为阻值R： $Z_{ideal}=R$

电阻实际等效模型

电阻上会存在寄生并联电容C寄生串联电感L的存在。

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根据上图可得电阻的实际等效阻抗为： $Z_{real}=\frac{(j\omega L+R)*\frac1{j\omega C}}{(j\omega L+R)+\frac1{j\omega C}}$

化简可得： $Z_{real}=\frac{j\omega L+R}{(1-\omega^2LC)+j\omega RC}$

实际电阻器的阻抗和频率曲线，有两个节点，分别为 $f1=\frac1{2\pi RC}$ $f2=\frac1{2\pi \sqrt{LC}}$

在频率小于 $f 1$ 时，呈现电阻特性，在 $f 1$ 和 $f 2$ 之间，呈现电容减少阻抗，频率大于 $f 2$ 时，呈现电感增加阻抗的特性。

$f 1$ 和 $f 2$ 分别对应RC滤波器的截止频率点和容抗和感抗相等时的频率点。

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理想电容器

理想电容器的阻抗Z公式为： $Z_{ideal}=\frac1{j\omega c}=\frac1{j2\pi fc}$

阻抗大小|Z|如下图所示，与频率呈反比，随着频率增大，阻抗减小，由于理想电容器中无损耗，故等效串联电阻(ESR)为零。

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电容实际等效模型

理想的电容器在实际中是不存在的，电容的实际模型是一个ESR串联一个ESL，再串联一个电容，ESR是等效串联电阻，ESL是等效串联电感，C是理想的电容。

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所以上述模型的复阻抗为： $Z=ESR+j2\pi fESL+\frac1{j2\pi fc}=ESR+j(2\pi fESL-\frac1{2\pi fc})$

$2\pi fESL<<\frac1{2\pi fc}$ 时，电容器表现为容性；
$2\pi fESL>>\frac1{2\pi fc}$ 时，电容器表现为感性，因此会有一句话叫高频时电容不再是电容，而呈现为电感，这个电感不是说电容变成了电感，而是指此时的电容拥有了与电感类似的特性。
$2\pi fESL=\frac1{2\pi fc}$ 时，此时容抗矢量等于感抗矢量，电容的总阻抗最小，表现为纯电阻特性，此时的f称为电容的自谐振频率。

自谐振频率点是区分电容是容性还是感性的分界点，高于谐振点时，“电容不再是电容”，因此退耦作用将下降。实际电容器都有一定的工作频率范围，在工作频率范围内，电容才具有很好的退耦作用。 $E S L$ 是电容在高于自谐振频率点之后退耦功能被消弱的根本原因。

下图是实际电容器的频率特性。

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理想电感

理想电感的阻抗为： $Z_{ideal}=j\omega L$

电感实际等效模型

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和电阻的是一样的，即： $Z_{real}=\frac{j\omega L+R}{(1-\omega^2LC)+j\omega RC}$

从下图可以看出，理想的电感的阻抗是随着频率的增加而变大的。

等效电感的阻抗呈一个倒V型，正好和电容相反，倒V的最高点称为电感的自谐振点。

当系统阻尼R提供的衰减不足时，容抗和感抗相互抵消，能量在LC间来回传递，这就是谐振。

频率低于自谐振频率SRF时，电感感抗随着频率增加而增加。
频率等于自谐振频率SRF时，电感感抗达到最大。
频率高于自谐振频率SRF时，电感感抗随着频率增加而减少。

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总结

理想的电阻、电容和电感在实际中不存在，都会存在寄生参数，从而在不同的频率下，表现出的特性不同，只有在特定的频率范围内才能发挥出其本身的特性。

今天的文章内容到这里就结束了，希望对你有帮助，我们下一期见。