PID微分器与滤波器的爱恨情仇

1 先说噪声

在电子设备等电路系统中，噪声是不被系统需要的电信号；电子设备产生的噪声会由于多种不同的影响而产生很大的差异。
在通信系统中，噪声是一个错误或不希望出现的随机干扰从而作用于有效的信号。

2 噪声对于系统的影响

噪声出现的第一个场景，当我们在教室里做英语听力，然后旁边的同学手机忽然来了一条短信，这时候往往可以听到放英语听力的喇叭会被干扰，然后会发出哔哔哔的声音；

下面是一个正弦信号跌加噪声的例子，在原始信号上叠加一定幅度的高斯噪声，可以看到信号不再像原来的正弦信号那样完美，具体如下图所示；

或者，很久很久以前，数字电视还没有普及，那时候的显像管的黑白电视，也容易出现这样的雪花一样的噪声，叠加在图片上就会出现这样的效果，具体如下图所示；

从上述的例子中可以看到，噪声往往会对系统造成一定程度的影响，但是如果噪声的幅度减小到一定程度，对于系统的影响可能就没有那么容易被发现。

下面做一个实验；

在一张黑色图片上叠加幅度很小幅度的高斯噪声；从第二张图片中发现噪声没有影响到整体图片；
然后我尝试提高了整幅图片的亮度，发现，噪点便开始出来了，这像极平时那些枪版影片的马赛克画质；
整体的实验结果如下图所示；

3 对于PID控制器的影响

既然噪声的幅度减小到一定程度，对于系统的影响可能就没有那么容易被发现，那么对理想的PID控制器又有什么影响呢？

不要忘了，在理想PID控制器中，微分控制器会对偏差的变化率（斜率）进行累加，从而产生积分器的输出；
对于微分器来说，即使噪声幅度足够小，但是只要达到足够高频率，偏差的变化率一样可以变得很大，下面举个例子；

这里有一个固定频率$f$和赋值$A$的噪声为信号1，这个信号可以表示为：
$$X_1(t)=Asin(2\pi ft)$$

于是我们尝试将信号1的幅度减半，频率变为原来的两倍，得到了信号2：
$$X_2(t)=\frac{A}{2}sin(2\pi 2ft)$$

以此类推，在信号2的基础上，幅度再减半，频率乘以2，得到信号3：
$$X_3(t)=\frac{A}{4}sin(2\pi 4ft)$$

简单画了一下这个信号，具体如下图所示；

假设分别取三个信号位于$t_0$该点的斜率，从图中可以看到，斜率1，斜率2，斜率3是相同的，简单验证一下，在$t_0$时刻，可以得到：

$$\{\begin{array}{l}{D}_1=\frac{d{X}_1(t)}{dt}\\ \\ D_2=\frac{d{X}_2(t)}{dt}\\ \\ D_3=\frac{d{X}_3(t)}{dt}\end{array}$$
所以这里就是求复合函数的微分，由于选取的点比较特殊，发现最终计算得到的结果$D_1=D_2=D_3$，因此也可以发现，即使减小了噪声的幅度，但是对于较高频率的噪声，依然会产生较大斜率。

遇到高频噪声，那么微分器会产生较大的输出，从而最终对系统造成影响，这是我们不希望出现的结果，因此在反馈回路中并不希望高频噪声进入PID控制器的计算，这里就需要低通滤波器将噪声滤除。

4 加入滤波器

低通滤波器可以滤除高频信号，这样保留了有效信号，可以设置所需的截止频率；
系统处理有效信号，由于低频部分信噪比较高，因此噪声对于系统的影响较小，而高频部分，信噪比就很低，这时候对于系统来说，噪声就会造成不小的影响，具体如下图所示；

信噪比：有效信号和噪声的比值，英文名称叫做SNR或S/N（SIGNAL-NOISE RATIO)；

所以下面我们会在PID控制器的微分部分加入低通滤波器，这样对反馈的信号进行一部分处理，从而减小系统干扰，如下图所示；

4.1 传递函数

概念：拉普拉斯变换是对于$t>=0$ 函数值不为零的连续时间函数 $x(t)$ 通过关系式 (式中$-st$为自然对数底$e$的指数)变换为复变量$s$的函数$X(s)$。它也是时间函数$x(t)$的“复频域”表示方式。

也就是说拉式变换可以将时域关系变换到频域中，这样可以便于系统进行分析。

下面是本文下面会用到的时域函数对应的拉普拉斯变换：

• 积分： $\frac{1}{s}$
• 微分： $s$
• 低通滤波器的传递函数：$\frac{N}{s+N}$

低通滤波器中的截止频率即为$N$，单位是$rad/s$；

4.2 串联微分的等效形式反馈积分

串联等效传递函数的关系为，两个方框串联等于各个方框传递函数的乘积；
具体如下所示；

因此低通滤波串联微分的传递函数为：
$$\frac{sN}{s+N}$$

闭环负反馈的等效传递函数的关系如下所示；

这里我们可以使用负反馈积分的方式，构建等效于串联微分的传递函数，最终的传递函数结果是相同的，具体如下图所示；

串联微分的形式，可能在算法的实现上会更加直观，但是会比较费资源；

使用负反馈积分的等效形式进行实现，则进一步减少了算法的资源消耗，下面给出一个TI公司的PID算法实现就是通过负反馈积分的等效形式进行实现的。

5 C语言实现

这里直接使用了TI公司的PID算法，对于微分部分做了滤波的处理，并且使用的是负反馈积分的方式，
具体可以参考controlSUITE\libs\app_libs\motor_control\math_blocks\v4.2\pid_grando.h
PID控制器的整体框图如下所示，我们只关心微分部分；

首先可以发现$u_d$满足：
$$u_d(k)=K_d[c_2{u}_i(k-1)+c_{1}e(k)-c_{1}e(k-1)]$$
这里滤波器有两个系数$c_1$和$c_2$，它们必须满足截止频率$a$（单位Hz）和采样周期$T$（单位秒）以下的关系：
$$\{\begin{array}{l}{c}_1=a\\ c_2=1-c_{1}T\end{array}$$

C语言实现如下：

/* =================================================================================
File name:       PID_GRANDO.H 
===================================================================================*/


#ifndef __PID_H__
#define __PID_H__

typedef struct {
    
      _iq  Ref;   			// Input: reference set-point
				  _iq  Fbk;   			// Input: feedback
				  _iq  Out;   			// Output: controller output 
				  _iq  c1;   			// Internal: derivative filter coefficient 1
				  _iq  c2;   			// Internal: derivative filter coefficient 2
				} PID_TERMINALS;
				// note: c1 & c2 placed here to keep structure size under 8 words

typedef struct {
    
      _iq  Kr;				// Parameter: reference set-point weighting 
				  _iq  Kp;				// Parameter: proportional loop gain
				  _iq  Ki;			    // Parameter: integral gain
				  _iq  Kd; 		        // Parameter: derivative gain
				  _iq  Km; 		        // Parameter: derivative weighting
				  _iq  Umax;			// Parameter: upper saturation limit
				  _iq  Umin;			// Parameter: lower saturation limit
				} PID_PARAMETERS;

typedef struct {
    
      _iq  up;				// Data: proportional term
				  _iq  ui;				// Data: integral term
				  _iq  ud;				// Data: derivative term
				  _iq  v1;				// Data: pre-saturated controller output
				  _iq  i1;				// Data: integrator storage: ui(k-1)
				  _iq  d1;				// Data: differentiator storage: ud(k-1)
				  _iq  d2;				// Data: differentiator storage: d2(k-1) 
				  _iq  w1;				// Data: saturation record: [u(k-1) - v(k-1)]
				} PID_DATA;


typedef struct {
    
      PID_TERMINALS	term;
				  PID_PARAMETERS param;
				  PID_DATA		data;
				} PID_CONTROLLER;

/*-----------------------------------------------------------------------------
Default initalisation values for the PID objects
-----------------------------------------------------------------------------*/                     

#define PID_TERM_DEFAULTS {				\
						   0, 			\
                           0, 			\
                           0, 			\
                           0, 			\
						   0 			\
              			  }

#define PID_PARAM_DEFAULTS {			\
                           _IQ(1.0),	\
                           _IQ(1.0), 	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(1.0),	\
                           _IQ(1.0),	\
                           _IQ(-1.0) 	\
              			  }

#define PID_DATA_DEFAULTS {			    \
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0), 	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0), 	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(1.0) 	\
              			  }


/*------------------------------------------------------------------------------
 	PID Macro Definition
------------------------------------------------------------------------------*/

#define PID_MACRO(v)										\
															\
/* proportional term */ 									\
v.data.up = _IQmpy(v.param.Kr, v.term.Ref) - v.term.Fbk;	\
															\
/* integral term */ 										\
v.data.ui = _IQmpy(v.param.Ki, _IQmpy(v.data.w1, 			\
(v.term.Ref - v.term.Fbk))) + v.data.i1;					\
v.data.i1 = v.data.ui;										\
															\
/* derivative term */ 										\
v.data.d2 = _IQmpy(v.param.Kd, _IQmpy(v.term.c1, 			\
(_IQmpy(v.term.Ref, v.param.Km) - v.term.Fbk))) - v.data.d2;\
v.data.ud = v.data.d2 + v.data.d1;							\
v.data.d1 = _IQmpy(v.data.ud, v.term.c2);					\
															\
/* control output */ 										\
v.data.v1 = _IQmpy(v.param.Kp, 								\
(v.data.up + v.data.ui + v.data.ud));						\
v.term.Out= _IQsat(v.data.v1, v.param.Umax, v.param.Umin);	\
v.data.w1 = (v.term.Out == v.data.v1) ? _IQ(1.0) : _IQ(0.0);\
	
#endif // __PID_H__

6 参考

https://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter
自动控制原理 第五版 胡寿松 P47

虽然写的不一定是最好，但是每一个字、每一个公式都是用心码的，每一张图都是用心画的，每一句话都是加入了自己的理解，如果帮到了你，请无情三连吧；另外笔者能力有限，文中难免存在错误和纰漏，望轻拍指正。