【解题总结】2020 CCPC 网络选拔赛

1010 Reports

签到，略。

1003 Express Mail Taking

简单贪心，先往右边走，然后逐步往左边走。

1007 CCPC Training Class

答案就是出现次数最多的字符出现的次数。

1011 3x3 Convolution

容易发现只有当 $K_{1,1}=1$ 时输出和原矩阵相同，否则一定会收敛到 $O$。

1006 Robotic Class

题意：定义 $n$ 个分段函数，每个函数形如
$$f(t,x)=\{\begin{array}{ll}f\left(d_{t,0},c_{t,0}x+b_{t,0}\right)& x\le a_{t,0}\\ f\left(d_{t,1},c_{t,1}x+b_{t,1}\right)& a_{t,0}<x\le a_{t,1}\\ & ⋮\\ f\left(d_{t,k_t-1},c_{t,k_t-1}x+b_{t,k_t-1}\right)& a_{t,k_t-2}<x\le a_{t,k_t-1}\\ f\left(d_{t,k_t},c_{t,k_t}x+b_{t,k_t}\right)& a_{t,k_t-1}<x\end{array}$$

$t$ 之间形成一个 DAG，只有 $n$ 没有出边，其中 $f(n,x)=x$。问 $\forall 1\le i\le n$，$f(i,x)$ 是否是连续函数。

显然可以在 $O(n\log n)$ 时间内用二分计算出任意的 $f(t,x)$。

假设现在要验证 $f(t,x)$ 的连续性，如果对于任意的 $i$，$f(d_{t,i},x)$ 都是连续函数，那么只要检查在分段的边界上 $f(t,x)$ 是否连续即可，即是否有对于任意的 $i$，有 $f\left(d_{t,i},c_{t,i}{a}_{t,i}+b_{t,i}\right)=f\left(d_{t,i+1},c_{t,i+1}{a}_{t,i}+b_{t,i+1}\right)$。

时间复杂度 $O(TnK\log n),K={\sum }_t{k}_t$。

1005 Lunch

题意：有 $n$ 堆石子，每次可以选择一个数目 $l>1$ 的堆，将其分割为 $k>1$ 个数目为 $\frac{l}{k}$ 的堆。所有堆均为 $1$ 时当前玩家输。问先手是否必胜。

我好像只会打表找规律…

规律就是每个数的 SG 值为其所有质因子次幂的和，如果该数是奇数就还要加一。

1002 Graph Theory Class

题意：给定 $[2,n+1]$ 这 $n$ 个整数，两个数 $i,j$ 的边权为 $\mathrm{lcm}(i,j)$，求最小生成树。

考虑每个数应该和谁连边。直觉是每个数和其最大的约数连边，质数连 $2$。那么答案就是 $[2,n+1]$ 求和然后再加所有范围内质数的和，最后减掉多算的 4。于是用 min_25 筛即可。

1012 Xor

原题题意够简单了，不叙述。

说起来这还是一个原题，Comet OJ Contest 12 出过。不妨去看那一题的解法。

1013 Residual Polynomial

题意：给定一个初始多项式 $f_1(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$，对于 $2\le i\le n$，有 $f_i(x)=b_i{f}_{i-1}^{\prime }(x)+c_i{f}_{i-1}(x)$。求 $f_n(x)$ 的系数。

设 $e_i$ 为 ${\prod }_{i=2}^n(b_i+c_i)$ 中，含有 $i$ 个 $c$ 的项之和（或者说，设 $e_i$ 为 ${\prod }_{i=2}^n(b_i+c_{i}x)$ 中，$x^i$ 的系数）。那么有：
$$f_n(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{e}_{n-i-1}{f}_1^{(i)}(x)$$

设 $f_n(x)={\sum }_{i=0}^n{w}_i{x}^i$。展开发现
$$i!w_i=\sum _{j+k=i+n-1}{e}_{j}k!a_k$$

后面这个是一个简单的卷积。前面 $e$ 怎么求？考虑分治，先求 $[l,mid],[mid+1,r]$ 两部分的 $e$，然后用一个卷积合并这两个部分即可。

时间复杂度为 $O(n{\log }^{2}n)$。

1004 Chess Class

待补。。。

1001 Art Class

待补。。。

1008 PE Class

待补。。。

1009 Math Class

待补。。。