以下内容笔记出自‘跟着迪哥学python数据分析与机器学习实战’，外加个人整理添加，仅供个人复习使用。
若数据集特征十分庞大，可能会使计算任务变得繁重，在数据特征有问题时，可能会对结果造成不利影响。
因此可以用降维算法，通过某种映射方法，将原始高维空间中的数据点映射到低纬度的空间中。这里介绍LDA（有监督学习算法）。
线性判别分析（Linear Discriminant Analysis,LDA），也叫作Fisher线性判别，最开始用于分类任务，但由于其对数据特征进行了降维投影，成为一种经典的降维方法。
降维原理
降维任务是找到合适的投影方向，使得原始数据更容易被计算机理解并利用。
实例说明如下：
如上图，正，散点是原始数据，即原始数据是二维特征，现在想降到一维，就需要找一个合适的投影方向，把这些数据点全部映射过去。
（a）图中，数据点投影后，有一部分还是重合的，（b）图中，投影后数据点能够明显区别开，那么我们会选第二种降维方式。
由此可见，降维不仅要压缩数据特征，还要寻找最合适的方向，使得压缩后的数据更有利用价值。
我们的目标：
- 对于不同类别的数据点，希望经过投影后的能离得越远越好，区别地越开越好；
- 对于同类别的数据点，希望投影后能更集中，离组织的中心越近越好。
接下来围绕上面的目标进行。
优化目标
如何衡量不同类别数据点投影后越远越好
用矩阵变换表示数据操作，将数据映射到合适的方向上，就是投影。
x表示原始数据所在空间，y表示降维后数据，目标就是求解最合适的参数W，这些参数能够保证一个最合适的投影方向。
要使得距离越远越好，我们用数据点均值表示中心位置，不同类别的中心点距离表示类别间距离。
中心点计算：
投影后中心点计算：
（因此LDA是有监督问题，需要知道类别标签，才能计算类别中心点）
不同类别的中间点距离计算：
函数J(w) 越大，表示类别间区分的越开。
如何衡量相同类别投影后越集中越好
上面我们得到了不同类别距离的计算，但如果只将上一项作为目标是否可行呢？
看图说话，上图两类数据点，假设现有两个投影方向，分别为X1，X2.
可以看到，在X1投影方向上，投影后不同类别中心点的距离要大于X2投影方向，X1投影方向的J(w)表现更好。
但X1上，投影后两类数据点依旧有很多重合在一起，但X2投影方向上，投影后数据重合比较好，这个层面上，X2的投影方向更优。
因此就涉及到第二个优化目标，同类别数据点越集中越好。
可以使用另一个度量指标——散列值（scatter）宝石同类别数据点的离散程度：
其中，y表示投影后数据点，散列值表示密集程度，值越大，越分散。（类似于方差的含义）。
判别分析求解
将上文中提到的两个目标整合：
上式中，分子表不同类别数据投影后距离，越大越好；分母表示同类别数据投影后密集程度，越小越好，最终J(w)值越大越好，求解其极大值即可。
化简
首先分母部分：
将散列值（求方差）的式子化简：
令：
类内散布矩阵：
那么有：
然后分子部分：
其中，Sb为类间散布矩阵。
最终目标函数：
对于散列矩阵Sb和Sw，只要有数据和标签即可求解，但如何得最终结果？若同时求解，就会有无数多解，通用方案是先固定分母，经放缩变换后，限定为1，即：
在这个条件下，用拉格朗日乘子法求解分子：
目标是求解w，上式左右两边同时乘以Sw的逆矩阵：
观察上式，与线代里面求特征向量有点像，如果把左式的
部分作为整体，那么w就是其特征向量。
因此，线性判别分析求解的过程，就是得到类内和类间散布矩阵，然后求其特征向量，就可以得到投影方向了！