4.10 重要总结

4.10 重要总结

读者应该知道数值 $r$ 代表什么？就是矩阵 $A$ 的秩！为什么呢？显然矩阵 $PAQ=\left[ \begin{matrix} E_{rr} , F_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right]$ 的行空间维度是 $r$ ，因为后面 $m-r$ 维分量都是 $0$ ，不能张开维度。列空间维度也是 $r$ ，因为自由矩阵 $F$ 能由单位矩阵 $E_{rr}$ 表示。矩阵乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩，所以 $rank A = rank PAQ = r$ 。这也直接证明了行秩等于列秩 $rank A = rank A^T$ 。我们称 $\left[ \begin{matrix} E_{rr} , F_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right]$ 为矩阵标准型，这也给出矩阵的秩另一个定义。

定义 矩阵的秩 矩阵高斯约当消元为标准型时，单位阵的阶数为矩阵的秩。

定义 矩阵等价 如果存在可逆矩阵 $P,Q$ ，使 $PAQ = B$ ，则称矩阵 $A,B$ 等价。

重要性质 矩阵等价时秩相等。

矩阵标准型还可以进一步化简为最简型，标准型进行列消元，把自由矩阵变换为零矩阵，即 $PAQ=\left[ \begin{matrix} E_{rr} , \mathbf{O}_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right]$ 。

标准型 $PAQ=\left[ \begin{matrix} E_{rr} , F_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right]$ 实际上可适用四种矩阵。

1. 矩阵可逆时 $r=m=n$ ，标准型为 $PA=\left[ \begin{matrix} E_{rr} \end{matrix} \right]$ ，只需进行行变换，故只需左乘矩阵。方程存在解且唯一解。

2. 矩阵为列满秩时 $r=n < m$ ，标准型为 $PA=\left[ \begin{matrix} E_{rr} \\ \mathbf{O}_{m-r,r} \end{matrix} \right]$ ，只需进行行变换，故只需左乘矩阵。方程如果存在解则唯一，否则无解。

3. 矩阵为行满秩时 $r=m < n$ ，标准型为 $PAQ=\left[ \begin{matrix} E_{rr} , F_{r,n-r} \end{matrix} \right]$ ，有可能需要进行列变换，故需右乘矩阵 $Q$ 。方程存在解且无穷多。

4. 矩阵为行列均不满秩时 $r < min(m,n)$ ，标准型为 $PAQ=\left[ \begin{matrix} E_{rr} , F_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right]$ ，有可能需要进行列变换，故需右乘矩阵 $Q$ 。方程如果存在解则无穷多，否则无解。

高斯约当消元法可求得矩阵很多东西：矩阵的主元，矩阵的秩，矩阵的零空间，方程的解，列向量组的极大无关组，行向量组的极大无关组，可逆矩阵的逆矩阵，向量是否能被矩阵的向量组表示。