HDU多校1 - 6759 Leading Robots(单调栈)

题目大意：n 个机器人在数轴上赛跑，给出每个机器人的起点和加速度，初始速度都为 0 ，问有多少个机器人在赛跑的过程中可以成为最前面的一个

题目分析：又是被zx学长秒掉的一道题，感谢zx学长的耐心讲解

首先根据高中物理知识，根据已知条件，可以得到位移与时间的方程 $y = b+\frac{1}{2}kx^2$ ，y 代表位移，x 代表时间，b 代表初始位置，k 代表加速度

因为都是抛物线，求交点非常的麻烦，因为我们只需要求交点的相对位置，所以可以将方程转换为位移与时间的平方的方程： $y = b+\frac{1}{2}kx$ ，这样并不会影响交点的相对位置，同时将每一个位移曲线都转换为一条直线表示了

那么如何将机器人成为最前面的一个体现出来呢？将 n 条直线对应到平面直角坐标系中，将 x 轴从 [ 0 , inf ) 划分为无数个点，对于每个 x 而言，对应位置最上面的那条直线所代表的机器人，就是在 x 时刻最领先的机器人，所以我们只需要统计有多少条直线成为过最上面的直线就好了

按照斜率排序，就可以发现相邻的三条直线会出现下面两种情况：

我们将直线 i - 1 与直线 i 的交点记为 ( x1 , y1 ) ，将直线 i 与直线 i + 1 的交点记为 ( x2 , y2 ) ，发现当 x1 < x2 时，直线 i 所代表的机器人才有可能在最上面，而当 x1 >= x2 时，直线 i 完全被直线 i - 1 和直线 i + 1 所挡住，也就无法在最上面了

到此为止，我们就可以利用单调栈来实现上述模拟了，栈内维护的是都可以在最上面的直线，对于新遍历到的直线 i ，因为我们已经按照斜率递增了，显然单调栈内所有初始位置 b 小于当前直线的直线都是不符合条件的，如下图所示：

显然在上图中，st [ top ] 所代表的直线完全被第 i 条直线所覆盖

还有就是对于栈中的元素，将 st[ top - 1 ] , st[ top ] 和 i 这三条直线分别对应上文中的 i - 1 , i , i + 1 三条直线来比较交点的位置亦可以判断合理性

最后有个坑点，就是如果有两个机器人，起点和加速度都是相同的话，那么这两个机器人是不会对答案提供贡献的，这个可以用 map 判断一下

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<unordered_map>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
typedef unsigned long long ull;
 
const int inf=0x3f3f3f3f;
 
const int N=5e4+100;

const double eps=1e-8;

const double pi = acos(-1.0);

int sgn(double x){
    if(fabs(x) < eps)return 0;
    if(x < 0)return -1;
    else return 1;
}

struct Line
{
    LL k,b;
    bool operator<(const Line& t)const
    {
        if(k!=t.k)
            return k<t.k;
        return b>t.b;
    }
}line[N];

int st[N],tp;

double get_x(int i,int j)//y=k1x+b1,y=k2x+b2,前式减后式，得到x=-1.0*(b1-b2)/(k1-k2)，得到x的坐标 
{
    return (-1.0*(line[i].b-line[j].b))/(1.0*(line[i].k-line[j].k));
}

map<pair<LL,LL>,int>mp;
 
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);
    int w;
    cin>>w;
    while(w--)
    {
        mp.clear();
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lld%lld",&line[i].b,&line[i].k);
            line[i].b*=2;//因为只需要求交点的相对位置，所以x和y轴同时放大两倍，避免出现1/2
            mp[make_pair(line[i].b,line[i].k)]++;
        }
        sort(line+1,line+1+n);
        tp=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(line[i].k==line[i-1].k)//两直线平行 
                continue;
            while(tp&&line[i].b>=line[st[tp]].b)//如果当前直线在栈顶的直线上面，说明栈顶的直线不可能被看到 
                tp--;
            while(tp>1&&sgn(get_x(st[tp-1],st[tp])-get_x(st[tp],i))>=0)
                tp--;
            st[++tp]=i;
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=tp;i++)
        {
            if(mp[make_pair(line[st[i]].b,line[st[i]].k)]==1)
                ans++;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }




    return 0;
}

HDU多校1 - 6759 Leading Robots(单调栈)

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