Sowu高精度详解

前言：在说高精度加减乘除运算之前，我们先搞明白什么是高精度运算？

利用计算机进行数值计算，有时会遇到这样的问题：有些计算要求精度高，希望计算的数的位数可达几十位甚至几百位，虽然计算机的计算精度也算较高了，但因受到硬件的限制，往往达不到实际问题所要求的精度。我们可以利用程序设计的方法去实现这样的高精度计算。

以下是几种常见数据类型的范围：

变量	范围
int	-2147483648 ~ +2147483647 (4 Bytes)
char	-128 ~ +127 (1 Byte)
double	1.7 * 10^308 (8 Bytes)
long long	-9223372036854775808 ~ +9223372036854775807 (8 Bytes)
unsigned long long	0~18446744073709551615

简单说高精度就是处理要算的数太大或太小，没法直接储存计算的问题

其实高精度计算并不困难，只要需要处理好以下几个问题即可：
(1)数据的接收方法与位数的确定
(2)数据的存贮方法
(3) 进位,借位处理
(4) 商和余数的求法

（1）数据的接收方法与位数的确定：

当输入的数很大时，可采用字符串或者字符数组方法输入数据。前者我们用.size确定位数，后者采用strlen的方式确定位数
1、scanf读入字符串

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
	char a[2020],b[2020]; //要定义char类型 
	scanf("%s%s",&a,&b);   //  & 可省略 
	cout<<a<<" "<<b<<'\n';
	int lena = strlen(a);  //计算长度
	int lenb = strlen(b);
	cout<<lena<<" "<<lenb;
}

2、gets读入字符串

	char a[2020],b[2020]; //要定义char类型 
	gets(a);gets(b);
	cout<<a<<" "<<b<<'\n';
	int lena = strlen(a);
	int lenb = strlen(b);
	cout<<lena<<" "<<lenb;

3、cin读入字符串

	string a,b;  
	cin>>a>>b;
	cout<<a<<" "<<b<<'\n';
	cout<<a.size()<<" "<<b.size();

scanf、cin遇空格或回车符则认为当前字符串结束
gets遇回车符则认为当前字符串结束

(2)数据的存贮方法：

关于数据的储存，我们可以利用字符串函数和操作运算，将每一位数取出，存入数组中

	string a; 
	int num[2020]; 
	cin>>a;
	int lena = a.size();
	for(int i = 1;i <= lena;i ++)
		num[i] = a[i - 1] - '0';
	for(int i = 1;i <= lena;i ++)
		cout<<num[i];

(3) 进位,借位处理

加法进位：

	a[i] += b[i] + c[i];
	if(a[i] >= 10)
	{
		a[i + 1] ++;
		a[i] %= 10; 
	}

减法借位：

	a[i] += b[i] - c[i];
	if(a[i] < 0)
	{
		a[i + 1] --;
		a[i] += 10; 
	}

乘法进位：

	a[i + j - 1] += a[i] * b[j];
	if(a[i] > 10)
	{
		a[i + 1] += a[i] / 10;
		a[i] %= 10; 
	}

(4) 商和余数的求法

数据较小时高精除可以用减法来模拟除法，对被除数的每一位都减去除数，一直减到被除数小于除数，运算次数为商，剩余的被除数为余数

数据较大时

待添加

模板：
高精度加法（必做）：https://www.luogu.com.cn/problem/P1601
高精度减法（必做）：https://www.luogu.com.cn/problem/P2142
高精度乘法（必做）：https://www.luogu.com.cn/problem/P1303
高精度除法（选做）：https://www.luogu.com.cn/problem/P5432
高精度开跟（选做）： https://www.luogu.com.cn/problem/P2293
高精求小数幂（选做）：https://www.luogu.com.cn/problem/P1517

【模板1 高精度加法】

题目：
洛谷 P1601 A+B Problem（高精）
详解：
1、数据处理：先将两大数存入字符串，再将字符串每一位转为数字存入数组

//将两数存入字符串a,b;再转为数字存入数组num1，num2
    cin >> a >> b;
	int len1 = strlen(a);
	int len2 = strlen(b);
	int numlen = 0, i;
	for (i = 0; i < len1; i++)
		num1[i] = a[i] - '0';
	for (i = 0; i < len2; i++)
		num2[i] = b[i] - '0';

2、将数组num1和num2按位数依次倒序相加，存入新数组num。
例：个位对应num1[len1-1]、num2[len2-1]，需将两者相加存入新数组num[0]中

for (i = 0; len1 > 0 || len2 > 0; i++) {
		if (len1 > 0 && len2 > 0)
		{
			num[i] += num1[len1 - 1] + num2[len2 - 1];
			len1--, len2--;
		}
		else if (len1 == 0)//len1位数比len2少时
		{
			num[i] += num2[len2 - 1];//只加len2
			len2--;
		}
		else if (len2 == 0)
		{
			num[i] += num1[len1 - 1];
			len1--;
		}
		if (num[i] >= 10)//加法进位
		{
			num[i + 1]++;
			num[i] %= 10;
		}
	}

3、得到答案，倒序输出。注意最后一位进位的情况

numlen = i;
	if (num[numlen] > 0)//注意若最后一位有进位，最后数组总长度要加1
		numlen++;
	for (i = numlen - 1; i >= 0; i--)
		cout << num[i];

【模板2 高精度减法】

题目：洛谷 P2142 高精度减法
详解：
1、数据处理：同上，略
2、判断结果正负和答案为0的情况：
可以先写个函数判断一下答案正负情况，

int F() {
	if (len1 > len2)
		return true;//答案为正的情况返回true
	else if (len1 == len2)
	{
		int i=0, j =0;
		while (num1[i] == num2[j])
		{
			i++, j++;	
			if (i == len1)//注意不要忘记两数相等的情况
				return 2;//答案为0返回标记为2
		}
		if (num1[i] > num2[j])
			return true;
		else
			return false;
	}
	else
		return false;//答案为负的情况返回false
}

若结果为负，可先反过来减，最后输出时加上负号

	//若结果为负可交换一下两数位置，反过来减
		if (!flag) {
		for (i = 0; i < len1; i++) {
			int x = num1[i];
			num1[i] = num2[i];
			num2[i] = x;
		}
		while (i < len2)
		{
			num1[i] = num2[i];
			i++;
		}
		int y = len1;
		len1 = len2, len2 = y;
	
	}

3、对应位数相减（会了高精度加法的话减法应该不成问题~我就不详细分析啦）

for (i = 0;len2 > 0||len1>0; i++) {
		if(len2>0)
		{
			num[i] += num1[len1 - 1] - num2[len2 - 1];
			len1--, len2--;
		}
		else if (len2 <= 0)
		{
			num[i] += num1[len1 - 1];
			len1--;
		}
		if (num[i] < 0)//减法借位
		{
			num[i + 1]--;
			num[i] += 10;
		}
	}

4、输出结果。

numlen = i;
	if(flag==2)//答案为0的情况
		cout << 0;
	else
	{
		if (!flag)//答案为负时记得输出负号
			cout << "-";
			while (num[numlen - 1] == 0)//前缀有0需消除
				numlen--;
			for (i = numlen - 1; i >= 0; i--)
				cout << num[i];
	}

【模板3 高精度乘法】

题目：洛谷 P1303 A*B Problem
详解（参考博客：点我）：

核心代码

for (i = 1; i <= len1; i++)
	{
		for (j = 1; j <= len2; j++)
		{
			num[i + j - 1] += num1[i] * num2[j];
			num[i + j] += num[i + j - 1] / 10;
			num[i + j - 1] %= 10;
		}
	}

分析

在这里插入图片描述

核心代码（乘法运算部分）是由模拟乘法竖式算出来的：
(1) 数1的倒数第i位与数2的倒数第j位相乘所得到的值应存在结果的倒数第i+j-1位上。
(2) 如果结果的i+j-1位大于9，则进位到i+j位。
举例：比如说当i=j=1、即num1[i]=3,num2[j]=5时,
num[i+j-1]=num1[1]*num2[1]%10=5;
num[i+j] + =num1[1]*num2[1]/10=0+1=1;
即当前：num[1]=5,num[2]=1（后续这个num[2]还会继续累加，对应举例中标黄部位）;

需注意的地方：

1、高精度乘法进位的掌握~~
2、i位数与 j位数相乘，其结果最多为 i+j 位。
3、注意答案为0的情况和前缀有0的情况。

附：高精度加、减、乘法模板题AC代码自己写的可能有些地方不够简洁规范，仅供参考哈~

待添加

好题：

B进制（选做）：https://www.luogu.com.cn/problem/P1604

待添加

模板及详解：

待添加

编写人：

Sowu_lion
Sowu_0077