[pieces] nlogn的LIS(最长上升子序列)实现

使用贪心法，将第k位定义成长为k的LIS末端可能的最小值。思路如下
我们构建的存储答案的数组（暂且称为dp数组），其第 $k$位表示：长度为 $k$的LIS中，末端元素最小的那个LIS的末端元素。
①扩展情形：

• 条件：如果要扩展出 $k+1$长的LIS，那么对当前读入的tmp，必须要有长为 $k$的LIS且末端元素比tmp小。
• 事实：而我们先前已经得到长为 $k$的LIS，其末端元素存储为dp[ptr-1]，所以如果末端元素dp[ptr-1]比tmp小，那么就能实现前述的条件。
• 结果：长度增加，获得更优解。

②替换情形：

• 条件：如果tmp能够小于序列中任一元素，假设为 $k$，那么说明，其能构成长为k的LIS
• 事实：dp数组是单调增的。所以我们可以通过二分找到其能构成的最长的LIS。
• 结果：通过替换，虽然不能找到更长的子序列，但是使得我们获得了一个比原有长度为k的最优解末端更小的LIS，同时（由于从递增序列中查找）这个替换是最优的。不会比原来更差。

综上得到LIS最大长度。

另外，考虑到使用这种思路得多写几个ptr+1（x奉劝自己不要这么懒
最终决定把这些元素分别回退一格，将第k长的最优解保存至k-1处

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005], ptr = 0, tmp;
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> tmp;
        if (ptr == 0 || dp[ptr-1] < tmp)
            dp[ptr++] = tmp;
        else {
            auto it = upper_bound(dp, dp+ptr, tmp);
            if(it == dp+ptr) continue;//说明全同，即没有上升区间，要防止尾端扩展。
			*it = tmp;
        }
    }
    cout << ptr << endl;
}

如果我们对它稍加变化，还能使得逻辑更清晰。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005], ptr = 0, tmp;
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cin >> tmp;
		auto it = upper_bound(dp, dp + ptr, tmp);
		if (it == dp + ptr)//搜到末端
			if (*(it-1) < tmp || ptr == 0)//如果不全同、或者本来没有元素
				dp[ptr++] = tmp;
			else continue;//这说明全同。
		else *it = tmp;//在中部发现所需
	}
	cout << ptr << endl;
}