Python蓝桥杯练习 农场阳光

问题描述

　　X星球十分特殊，它的自转速度与公转速度相同，所以阳光总是以固定的角度照射。
　　最近，X星球为发展星际旅游业，把空间位置出租给Y国游客来晒太阳。每个租位是漂浮在空中的圆盘形彩云（圆盘与地面平行）。当然，这会遮挡住部分阳光，被遮挡的土地植物无法生长。
　　本题的任务是计算某个农场宜于作物生长的土地面积有多大。

输入格式

　　输入数据的第一行包含两个整数a, b，表示某农场的长和宽分别是a和b，此时，该农场的范围是由坐标(0, 0, 0), (a, 0, 0), (a, b, 0), (0, b, 0)围成的矩形区域。
　　第二行包含一个实数g，表示阳光照射的角度。简单起见，我们假设阳光光线是垂直于农场的宽的，此时正好和农场的长的夹角是g度，此时，空间中的一点(x, y, z)在地面的投影点应该是(x + z * ctg(g度), y, 0)，其中ctg(g度)表示g度对应的余切值。
　　第三行包含一个非负整数n，表示空中租位个数。
　　接下来 n 行，描述每个租位。其中第i行包含4个整数xi, yi, zi, ri，表示第i个租位彩云的圆心在(xi, yi, zi)位置，圆半径为ri。

输出格式

　　要求输出一个实数，四舍五入保留两位有效数字，表示农场里能长庄稼的土地的面积。

样例输入

10 10
90.0
1
5 5 10 5

样例输出

21.46

样例输入

8 8
90.0
1
4 4 10 5

样例输出

1.81

样例输入

20 10
45.0
2
5 0 5 5
8 6 14 6

样例输出

130.15

思路

当阳光斜射入农场时，实际上上空的圆形区域阴影在地面上仍是圆形，大小不变，位置改变，所以只需要找到底面对应圆心位置即可
这道题的难点在于精确求矩形除去圆形剩余部分面积
分两组情况

1. 当圆形区域互不重叠时，只需要判断投影在矩形区域内的圆形区域范围的圆形大小即可，之后减去便是剩余部分
2. 当圆形区域之间有重叠时，计算出重叠区域的面积，再用两个圆形区域面积相加减去重叠部分，就是投影部分。注意如果一个圆形与多个圆形重叠，那么要重复计算它与每个重合圆形的重叠部分面积，再用两个圆形面积减去重叠部分得到投影部分，再把多余计算的圆形面积减去，每个圆形区域只保留一次加进去的。

这里的关键为计算两个圆形的重叠区域面积

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1. AC、BC为圆半径，AB为两个圆心的距离
2. 由余弦定理得到∠CAB、∠CBA
3. 根据AC、AB和∠CAB计算出三角形ABC的面积，之后乘2得到两个三角形的面积
4. 根据AC、∠CAB*2计算出圆A部分的扇形区域面积
5. 根据BC、∠CBA*2计算出圆B部分的扇形区域面积
6. 两个扇形面积相加再减去三角形ABC*2的面积得到的值就是重叠部分的面积
7. 上图两种情况相同，考虑一次就可以了
8. 其他情况为内含、外离。

我看到其他人还有用微积分来做的，具体为把矩形细分为若干个小矩形，然后判断小矩形的四个边角是否在圆形区域内，如果有两个那么这个小矩形就算在阴影部分，最后把非阴影部分相加就可以了。在大面积的情况下是可以达到精度的，但是速度方面可能不太好。

Python源代码

在赶了在赶了，别催了