矩阵乘法和逆
矩阵乘法
- 第一种方法（一般方法）：
假设有矩阵等式\(C=AB\)：
\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {a\mathop{{}}\nolimits_{{11}}\text{ }\text{ }a\mathop{{}}\nolimits_{{12}}\text{ }\text{ }a\mathop{{}}\nolimits_{{13}}\text{ }\text{ }a\mathop{{}}\nolimits_{{14}}}\\ {a\mathop{{}}\nolimits_{{21}}\text{ }\text{ }a\mathop{{}}\nolimits_{{22}}\text{ }\text{ }a\mathop{{}}\nolimits_{{23}}\text{ }\text{ }a\mathop{{}}\nolimits_{{24}}}\\ {a\mathop{{}}\nolimits_{{31}}\text{ }\text{ }a\mathop{{}}\nolimits_{{32}}\text{ }\text{ }a\mathop{{}}\nolimits_{{33}}\text{ }\text{ }a\mathop{{}}\nolimits_{{34}}}\\ {a\mathop{{}}\nolimits_{{41}}\text{ }\text{ }a\mathop{{}}\nolimits_{{42}}\text{ }\text{ }a\mathop{{}}\nolimits_{{43}}\text{ }\text{ }a\mathop{{}}\nolimits_{{44}}} \end{array} \right] }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {b\mathop{{}}\nolimits_{{11}}\text{ }\text{ }b\mathop{{}}\nolimits_{{12}}\text{ }\text{ }b\mathop{{}}\nolimits_{{13}}\text{ }\text{ }b\mathop{{}}\nolimits_{{14}}}\\ {b\mathop{{}}\nolimits_{{21}}\text{ }\text{ }b\mathop{{}}\nolimits_{{22}}\text{ }\text{ }b\mathop{{}}\nolimits_{{23}}\text{ }\text{ }b\mathop{{}}\nolimits_{{24}}}\\ {b\mathop{{}}\nolimits_{{31}}\text{ }\text{ }b\mathop{{}}\nolimits_{{32}}\text{ }\text{ }b\mathop{{}}\nolimits_{{33}}\text{ }\text{ }b\mathop{{}}\nolimits_{{34}}}\\ {b\mathop{{}}\nolimits_{{41}}\text{ }\text{ }b\mathop{{}}\nolimits_{{42}}\text{ }\text{ }b\mathop{{}}\nolimits_{{43}}\text{ }\text{ }b\mathop{{}}\nolimits_{{44}}} \end{array} \right] }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {c\mathop{{}}\nolimits_{{11}}\text{ }\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{12}}\text{ }\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{13}}\text{ }\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{14}}}\\ {c\mathop{{}}\nolimits_{{21}}\text{ }\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{22}}\text{ }\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{23}}\text{ }\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{24}}}\\ {c\mathop{{}}\nolimits_{{31}}\text{ }\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{32}}\text{ }\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{33}}\text{ }\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{34}}}\\ {c\mathop{{}}\nolimits_{{41}}\text{ }\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{42}}\text{ }\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{43}}\text{ }\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{44}}} \end{array} \right] }}\right. }}\right. }}\right. }\)
则\({c\mathop{{}}\nolimits_{{ij}}}=矩阵A的行i∙矩阵B的列j\)
即：\({c\mathop{{}}\nolimits_{{ij}}=a\mathop{{}}\nolimits_{{i1}}b\mathop{{}}\nolimits_{{1j}}+a\mathop{{}}\nolimits_{{i2}}b\mathop{{}}\nolimits_{{2j}}+a\mathop{{}}\nolimits_{{i3}}b\mathop{{}}\nolimits_{{3j}}+\text{ …… }+a\mathop{{}}\nolimits_{{ik}}b\mathop{{}}\nolimits_{{kj}}={\mathop{ \sum }\limits_{{k=1}}^{{n}}{a\mathop{{}}\nolimits_{{ik}}b\mathop{{}}\nolimits_{{kj}}}}}\)
从上面的式子看出，要使两个矩阵能够相乘，矩阵\(A\)的列要等于矩阵\(B\)的行。并且可以看出矩阵\(C\)的行是由矩阵\(A\)决定，列是由矩阵\(B\)决定，
即一个\(m∗n\)的\(A\)矩阵，和一个\(n∗p\)的\(B\)矩阵相乘，将得到一个\(m∗p\)的矩阵\(C\)
-
第二种方法（整列考虑）：
用矩阵\(A\)乘以矩阵\(B\)的每一列（即矩阵乘以向量，方法第一节提到过），得到的矩阵\(C\)的每一列都是矩阵\(A\)各列的线性组合
-
第三种方法（整行考虑）：B
用矩阵\(A\)的每一行乘以矩阵\(B\)（即向量乘以矩阵，方法第一节提到过），得到的矩阵\(C\)的每一行都是矩阵\(B\)各行的线性组合
回到上节留下的问题
\({\begin{array}{*{20}{l}} {E\mathop{{}}\nolimits_{{32}} \left( E\mathop{{}}\nolimits_{{21}}A \left) =U\right. \right. }\\ {E\mathop{{}}\nolimits_{{32}}={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }0}\\ {0\text{ }\text{ }1\text{ }\text{ }0}\\ {0\text{ }-4\text{ }1} \end{array} \right] }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }E\mathop{{}}\nolimits_{{21}}={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }0}\\ {-3\text{ }1\text{ }\text{ }0}\\ {0\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }1} \end{array} \right] }}\right. }}\right. }}\\ {E\mathop{{}}\nolimits_{{32}}E\mathop{{}}\nolimits_{{21}}={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }0}\\ {0\text{ }\text{ }1\text{ }\text{ }0}\\ {0\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }1} \end{array} \right] }=I}\right. }} \end{array}}\)
即\(EA=I\)
矩阵的逆
如果矩阵\(A\)满足：\({{A\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}}A=AA\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}=I}\)，那么矩阵\(A\)就是可逆的
\({A\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}}\)表示矩阵\(A\)的逆矩阵。\(I\)表示单位矩阵，因为单位矩阵是方阵，所以可逆矩阵都是方阵
接下来观察不可逆的矩阵，例：
\({A={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }3}\\ {2\text{ }\text{ }6} \end{array} \right] }}\right. }}\)
-
那么矩阵\(A\)为什么是不可逆的？
-
矩阵\(A\)的行列式等于\(0\)（后面会讲行列式）
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刚才提到，如果矩阵可逆，那么它与逆矩阵相乘结果是单位矩阵，刚才讲到矩阵相乘，如果从整列考虑，结果应该与矩阵\(A\)成线性关系，但矩阵\(A\)的每一列不可能与单位矩阵的每一列成线性关系
-
如果能找到一个向量\(X\)，使\(AX=0(X \neq 0)\)，那么这个矩阵就是不可逆的，比如：
\({A={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }3}\\ {2\text{ }\text{ }6} \end{array} \right] }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {3}\\ {-1} \end{array} \right] }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {0}\\ {0} \end{array} \right] }}\right. }}\right. }}\right. }}\)
如果矩阵\(A\)是可逆矩阵，那么向量\(X\)一定为\(0\)，所以要求\(X \neq 0\)
-
-
怎么求矩阵的逆？
例：\({\begin{array}{*{20}{l}} {{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }3}\\ {2\text{ }\text{ }7} \end{array} \right] }{{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {a\text{ }\text{ }b}\\ {c\text{ }\text{ }d} \end{array} \right] }}\right. }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }0}\\ {0\text{ }\text{ }1} \end{array} \right] }}\right. }}}\right. }}\\ {\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }AA\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}=I} \end{array}}\)
按照上节学习的消元法解线性方程组，要解这两个方程组
\({\begin{array}{*{20}{l}} {{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }3}\\ {2\text{ }\text{ }7} \end{array} \right] }{{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {a}\\ {c} \end{array} \right] }}\right. }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1}\\ {0} \end{array} \right] }}\right. }}}\right. }}\\ {{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }3}\\ {2\text{ }\text{ }7} \end{array} \right] }{{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {b}\\ {d} \end{array} \right] }}\right. }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {0}\\ {1} \end{array} \right] }}\right. }}}\right. }} \end{array}}\)
利用高斯－若尔当消元法（Gauss-Jordan Elimination），没必要一个一个解这两个方程组，可以把系数矩阵和由两个右侧向量组成的矩阵再组成一个大矩阵
\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }3\text{ }\text{ }1\text{ }\text{ }0}\\ {2\text{ }\text{ }7\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }1} \end{array} \right] }}\right. } \xrightarrow { \left( 2,1 \right) }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }3\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }1\text{ }\text{ }0}\\ {0\text{ }\text{ }1\text{ }\text{ }-2\text{ }\text{ }1} \end{array} \right] }}\right. }\)
按照上节消元法，到这一步就完了，高斯－若尔当消元法增加了一步，消去(1,2)，则结果为：
\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{ }\text{ }0\text{ }\text{ }7\text{ }\text{ }-3}\\ {0\text{ }\text{ }1\text{ }-2\text{ }\text{ }\text{ }1} \end{array} \right] }}\right. }\)
可以检验\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {\text{ }7\text{ }\text{ }-3}\\ {-2\text{ }\text{ }\text{ }1} \end{array} \right] }}\right. }\)就是矩阵\(A\)的逆矩阵
对于可逆矩阵，\(EA=I,AA\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}=I\)，那么\(E=A\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}\)，即高斯－若尔当消元法所引入的一些\(E\)的积就是\(A\)的逆矩阵