第五课-位运算
大约3500字，仔细阅读需要15分钟，如果上手执行，推理步骤，并书写代码大约需要50分钟。内容若存在错误请与我联系。
这一块内容是我认为比较重要的一个内容。其实更应该说是自己的一个盲区吧，今天算是填了一个小洞，心里还是十分高兴的。本来是想把这个内容也放在第四课讲的，但是真的发现位运算的魅力真的真的是蛮大的。这一块内容算是我写了这么多帖子以来，理解得最深刻的一部分了。
参考书书籍：
《算法笔记》第二版-曾磊，胡凡编著
《数据结构》第二版-高等教育出版社-陈越编著
《计算机组成与设计-硬件软件接口》
参考视频：国防科技大学-计算机原理
简单介绍一些运算符，这些运算在组成原理的数字运算上会讲到，过多的题目我在这里不去深究。但是为了做题目，我还是会尽量去举例子子。
^(异或):都为1，才为1
&(与):比如位上的数位A,那么A&1=A,A&0=0。那么可以通过与操作保留数位上的数
~(取反):1变成0，0编程1.
右移动：>>所有位向右移动若干位，高位溢出丢弃，低位补0
左移动：<<所有位向右移动若干位，高位溢出丢弃，低位补1
| 位运算题目 | 来源：leetcode，Acwing |
|---|---|
| leetcode | 201. 数字范围按位与 |
| leetcode | 260. 只出现一次的数字 III |
| leetcode | 461. 汉明距离 |
| Acwing | 801. 二进制中1的个数 |
位运算：
其实大部分题目的基本两个操作：
1.求n的第k位数字：n>>k&1
2.返回n的最后一位1：lowbit(n)=n&-n ,lowbit是树状数组的基本操作
lowbit返回的是x的最后（最右边）的一位1
如：x=1010, 那么lowbit(x)=10
x=101000, 那么lowbit(x)=1000
如何理解lowbit(n)=n&-n 呢？
比如
lowbit的应用：统计一个数x对应的二进制数，其中1出现的次数 ，比如底下的Acwing-801- 二进制中1的个数。但是这一题，我还是希望从原理上能够解答出这一题。让这篇博客的读者不仅仅拘泥于lowbit的应用。
题解如下：
它的模板做法如下：
我不妨去举例：
不妨求数字x=110110110中其中1出现的次数。其实还是很简单，lowbit提供一个较好的方法而已。
第一个在循环中，计算出lowbit(x)=110。x-lowbit=x=110110000,cnt++,此时cnt=1
第一个在循环中，计算出lowbit(x)=110000。x-lowbit=x=110000000,cnt++,此时cnt=2
第一个在循环中，计算出lowbit(x)=110000000。x-lowbit=x=110000000,cnt++,此时cnt=3.
#include <iostream>
using namespace std;
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
int main(){
int m;//代表输出的数个数
cin>>m;
while(m--){
int x;
cin>>x;
int cnt=0;
while(x) x-=lowbit(x),cnt++;//每次减去x的最后一位1
cout<<cnt<<" ";
}
return 0;
}
但是我更希望从原理上能够做出来这一道题目：
主要的实现功能在函数上：虽然传递的参数是十进制n，但是在计算机中会进行转化，变成二进制。n&1.比如n二进制的为：110110110，那么n&1为：000000001.
不管有没有计算出，n进行右移动，n=011011011
…
…
…
重复操作，就能得出结果。
代码如下：
#include <iostream>
using namespace std;
int count(int n){
int cnt=0;
while(n>0){
if((n&1)==1){
cnt++;
}
n=(n>>1);
}
return cnt;
}
int main(){
int m;
cin>>m;
while(m--){
int n;
cin>>n;
int res=count(n);
cout<<res<<" ";
}
return 0;
}
但是,又但是有更好的方法，分而治之。这个有点负载，大概说一下思路。
以为x=11001100为例子。以两个数为一对。然后与四个连续的01（过滤器）对相与（有点复杂）。
步骤如下：
1.用11001100&01010101=01000100，设结果为a1
2.将x右移动：此时x=01100110,重复步骤一，此时为01000100.设结果为a2
3.a1&a2：01000100+01000100=10001000分队分成四对：10 00 10 00
对应的十进制为2 0 2 0
所以1出现的次数为=2+0+2+0=4
同样：可以分成两对：1100 1100
那么过滤器就要设置为0011 0011
步骤还是一样的。
这样，在时间复杂度上面节约很多。因为不涉及++,>>等操作。
当电脑配置为64位时，这样做效率上就会显得十分高效，而且逻辑真的是很清晰。
题目二：201. 数字范围按位与
说一说我的做法：
#include <iostream>
// bitwise operation
using namespace std;
int rangeBitwise(int m, int n) {
int result=m;
for(int i=m;i<=n;i++){
result=(result&i);
}
return result;
}
int main(){
int m,n;
cin>>m>>n;
int outcome=rangeBitwise(m,n);
cout<<outcome;
return 0;
显然这样的做法是不可能过去的，O(n)的复杂度在这一题显得不那么允许了。
但是通过位运算就可以了。
我们不妨分析一下位运算的过程：然后给的区间的是【m,n】，显然m<n。不妨假设
m=10000011
n=10001001
那么m~n之间的数应该是
10000011
10000100
10000101
10000110
10000111
10001000
10001001
进行与操作之后，我们发现结果为10000000.很容易发现前四位是相同的，而且前面又讲到了**&操作的性质:A&1=A,A&0=0**
那么只要存在0，那么一整列计算出来就是0，而且数字的进位会产生0.我们从总体观上去观察。从10000011到10001000.肯定经历了10000111，10001000。所以我们只要观察前缀相等即可。
所以结果应该为10001001
代码编写如下：
#include <iostream>
// bitwise operation
using namespace std;
int rangeBitwise(int m, int n) {
int result=0;
while(m!=n){
m>>=1;
n>>=1;
result++;
}
return m<<result;
}
int main(){
int m,n;
cin>>m>>n;
int outcome=rangeBitwise(m,n);
cout<<outcome;
return 0;
}
关于上面空余的两题，我一定会在空闲时间把代码上传上去。并且位运算的题目以及位运算本身的内容，之后的日子里，我一定还会进行补充。