平衡车模型与sumulink仿真

导言

相信很多朋友在学嵌入式控制系统的时候，都玩过平衡车，把平衡车作为自己学习和实践的重要一步。平衡车模型，事实上类似于倒立摆模型，他是一个经典的控制系统模型，对于做自动控制的人来说，倒立摆是必须的一步，它对控制系统的分析，挖掘有着重要的影响。所以，我们很有必要了解平衡车的控制方法。这对我们对控制系统的理解有着重要的作用。

物理模型

下面我们来简单看一下平衡车的物理模型

设 $\alpha$为平衡车倾角， $r$表示轮子半径。
对轮子中心求矩得 $fr=\frac{GLsin\alpha}{2}$
可得 $\alpha=asin\frac{2fr}{GL} （ 1）$
如上图，以平衡车为整体进行受力分析。在平衡车稳定时，受如上二个力，一个为地面给轮子的摩擦力，二是平衡车自重，另外还有地面给车的支撑力（这里忘画了）。假定车在稳定不跑时不倾斜，则系统在f对轮子力矩的作用下必定不能保持平衡，故可得出：车在稳定跑的时候必定有一定的倾斜角度。

再单独对轮子进行受力分析，轮子受地面摩擦与电机扭矩的作用向前滚动（自重与地面支撑力和摩擦力在竖直方向与水平方向平衡，这里不列出式子）。在平衡车稳定时，车将匀速向前运动。同样对对轮子中心求矩可得：
$T=fr（2）$
联立（1）（2）求得 $\alpha=asin\frac{2T}{GL}$
可见，平衡车稳定时倾斜角度与电机转矩T有关，T越大，即给电机的速度越大，则倾斜角度越大。

控制系统的设计与仿真

方案一
速度环补偿给角度的p控制器。给出matlab框图：

方案二
串级pid，速度环直接给角度环。给出框图：

二个方案仿真结果一样，如图：

这里可以看到最终稳定向前跑时，角度为一定值，符合我们前面的物理模型。
这里需要用到自控里的很多知识，特别是方案一，是多输入的系统，甚至要用到现代控制理论。本文只针对入门不久的朋友，所以我只简单分析一下方案二。
设x为速度环输入，y为角度环输出（注意角度环输出的是输出力矩T，这里我利用了公式上述讨论的公式将输出力矩化为了角度，我们这里只讨论输入x与输出力矩y的关系）
$\frac{y}{x}=\frac{p_1s+i_1+d_1s^2}{(p_1+1)s+i_1+d_1s^2} \frac{p_2s+i_2+d_2s^2}{(p_2+1)s+i_2+d_2s^2}$
这里速度环用的pi控制器，角度环用的pd控制器
因此：
$\frac{y}{x}=\frac{p_1s+i_1}{(p_1+1)s+i_1} \frac{p_2+d_2s}{(p_2+1)+d_2s}$
根据我的上一篇文章，稳态时 $\frac{y}{x}=\frac{p_2}{p_2+1}（3）$
联立（2）（3），其中y=T，得：
小车稳定时倾角 $\alpha=asin\frac{2p_2x}{GL(p_2+1)}$
仿真中的参数我是随便设置的，大家可根据实际情况计算。
至于串级pid为什么能够达到这样的效果，这必须用自动控制原理来解释，对于刚入门没学的同学来说，这里不需要讲解。只用知道这个方案可以实现，并能通过仿真验证就可。切忌主观硬性理解。
串级pid调参
一般先调内环，再调外环。
角度内环：让输入为0，调节pd控制器使之能有平衡的趋势（平衡一会就会倒下）。
速度外环：将速度环加上，令速度期望为0，调节pi控制器让它平衡。

结语

本文有许多内容还没讲到，实属能力有限。关于更多的平衡小车内容，可参考平衡小车之家的资料（没收广告费）。