归一化输入

训练神经网络，其中一个加速训练的方法就是归一化输入。假设一个训练集有两个特征，输入特征为2维，归一化需要两个步骤：

零均值
归一化方差；

我们希望无论是训练集和测试集都是通过相同的 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 定义的数据转换，这两个是由训练集得出来的。

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第一步是零均值化， $\mu=\frac1m\sum_{i=1}^mx^{(i)}$ ，它是一个向量， $x$ 等于每个训练数据 $x$ 减去 $\mu$ ，意思是移动训练集，直到它完成零均值化。

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第二步是归一化方差，注意特征 $x_1$ 的方差比特征 $x_2$ 的方差要大得多，我们要做的是给 $\sigma$ 赋值， $\sigma^2=\frac1m\sum_{i=1}^m(x^{(i)})^2$ ，这是节点 $y$ 的平方， $\sigma^2$ 是一个向量，它的每个特征都有方差，注意，我们已经完成零值均化， $(x^{(i)})^2$ 元素 $y^2$ 就是方差，我们把所有数据除以向量 $\sigma^2$ ，最后变成上图形式。

$x_1$ 和 $x_2$ 的方差都等于1。提示一下，如果你用它来调整训练数据，那么用相同的 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 来归一化测试集。尤其是，你不希望训练集和测试集的归一化有所不同，不论 $\mu$ 的值是什么，也不论 $\sigma^2$ 的值是什么，这两个公式中都会用到它们。所以你要用同样的方法调整测试集，而不是在训练集和测试集上分别预估 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 。因为我们希望不论是训练数据还是测试数据，都是通过相同 $μ$ 和 $\sigma^2$ 定义的相同数据转换，其中 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 是由训练集数据计算得来的。

我们为什么要这么做呢？为什么我们想要归一化输入特征，回想一下右上角所定义的代价函数。

$J(w,b)=\frac1m\sum_{i=1}^mL(\hat{y}^{(i)},y^{(i)})$

如果你使用非归一化的输入特征，代价函数会像这样：

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这是一个非常细长狭窄的代价函数，你要找的最小值应该在这里。但如果特征值在不同范围，假如 $x_1$ 取值范围从1到1000，特征 $x_2$ 的取值范围从0到1，结果是参数 $x_1$ 和 $x_2$ 值的范围或比率将会非常不同，这些数据轴应该是 $w_1$ 和 $w_2$ ，但直观理解，我标记为 $w$ 和 $b$ ，代价函数就有点像狭长的碗一样，如果你能画出该函数的部分轮廓，它会是这样一个狭长的函数。

然而如果你归一化特征，代价函数平均起来看更对称，如果你在上图这样的代价函数上运行梯度下降法，你必须使用一个非常小的学习率。因为如果是在这个位置，梯度下降法可能需要多次迭代过程，直到最后找到最小值。但如果函数是一个更圆的球形轮廓，那么不论从哪个位置开始，梯度下降法都能够更直接地找到最小值，你可以在梯度下降法中使用较大步长，而不需要像在左图中那样反复执行。

当然，实际上 $w$ 是一个高维向量，因此用二维绘制 $w$ 并不能正确地传达并直观理解，但总地直观理解是代价函数会更圆一些，而且更容易优化，前提是特征都在相似范围内，而不是从1到1000，0到1的范围，而是在-1到1范围内或相似偏差，这使得代价函数 $J$ 优化起来更简单快速。