算法——使用单调队列解决滑动窗口问题

滑动窗口

给定一个大小为n≤106的数组。

有一个大小为k的滑动窗口,它从数组的最左边移动到最右边。

您只能在窗口中看到k个数字。

每次滑动窗口向右移动一个位置。

以下是一个例子:

该数组为[1 3 -1 -3 5 3 6 7]k3

窗口位置 最小值 最大值
[1 3 -1] -3 5 3 6 7 -1 3
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7 -3 3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7 -3 5
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7 -3 5
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7 3 6
1 3 -1 -3 5 [3 6 7] 3 7

您的任务是确定滑动窗口位于每个位置时,窗口中的最大值和最小值。

输入格式

输入包含两行。

第一行包含两个整数nk,分别代表数组长度和滑动窗口的长度。

第二行有n个整数,代表数组的具体数值。

同行数据之间用空格隔开。

输出格式

输出包含两个。

第一行输出,从左至右,每个位置滑动窗口中的最小值。

第二行输出,从左至右,每个位置滑动窗口中的最大值。

输入样例:

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

输出样例:

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

使用单调队列解决滑动窗口问题

​ 通过读题,我们可以简单描述为有一个长度为n的数组a[n],给定一个长度为k的“窗口”,a[n]会从头开始依次经过这个窗口,我们需要求的是数组从第k - 1个元素开始,也就是窗口第一次被填满时开始一直到数组结尾,每一次窗口中的值被更新后的最大值和最小值

​ 不难发现,这个窗口是一个从尾部进入,头部出去的模型,那很容易联想到先入先出的数据结构——队列,我们可以假设这个窗口就是一个队列,每次数组元素会从队尾入队,当窗口被填满后,当前的队头元素要出队,我们维护这样一个长度为k的队列,每次求出它的最大值和最小值即可

使用单调队列优化

​ 然后即便我们想到使用队列进行求解,这个问题还是显得十分复杂,我们怎样简化它呢?答案就是使用单调队列

​ 单调队列即队列中的元素满足单调递增或递减的性质,保证队头队尾元素是队列的最大值或最小值,因为从模拟这道题的过程我们可以得出,假设在求窗口中的最小值时,数组存在[..., 3, -1, 0, ...]这样一段序列,当3入队时,它可能是当前队中最小的元素,但当窗口再一次向后移动时,-1进入队列,此时无论如何3都不会再被当成最小值输出,因为-1一定会在3之后出队,所以这时3就没有必要再存在于队中,我们将它排除,如此循环,使得每次入队的元素一定大于前面的元素,我们就可以得到一个单调递增的队列,此时求最小值,我们直需要返回队头元素即可

​ 以上是最小值,求最大值时我们只需要改变元素入队时的判断条件,即可改变单调队列的单调性,使队头元素变成最大值,下面是代码

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1000010;

int q[N], a[N];
int n, k;

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    int hh = 0, tt = -1;
    // 最小值
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if(hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) ++hh;
        while (hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) --tt;
        q[++tt] = i;
        if (i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
    puts("");
    hh = 0, tt = -1;
    // 最大值
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if(hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) ++hh;
        while (hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]) --tt;
        q[++tt] = i;
        if (i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
}

​ 这里我们使用 q[N]来表示滑动窗口中数组元素的下标,这样更方便我们对队列进行操作

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