[LeetCode 双周赛22] 4. 3n 块披萨(区间dp、环转区间技巧、巧妙解法)

1. 题目来源

链接：5351. 3n 块披萨

2. 题目说明

3. 题目解析

方法一：区间dp+环转区间技巧+巧妙解法

太难了，太难了，太难了…

首先一堆大佬的 猜结论 数学解法确实太顶了…

再次分析一种 区间 dp 的解法，十分感谢大佬的讲解~

• 为什么使用 区间 dp？因为该问题具有区间性质？不是环吗，为什么成区间了？环可以变成区间…

• 首先分析其区间性质，在示例一中，我取 4 号披萨，B 取 5 号披萨， A 取 3 号披萨，可将其抽象化为一段连续的子区间。那么示例一再次进行取披萨时就不连续了，为什么不连续呢？那就是第一次取连续披萨所导致的。那么这个问题就与一段区间产生了关系。就尝试下 区间 dp 解决问题。

• 朴素区间 dp 设计，先不考虑环：

  • 状态定义：

    • 撒dp[l][r]：取完区间 l-->r 的最大获取量

  • 转移方程：

    • 情况1 ：dp[l1][r1] 被取完，同时有 dp[l2][r2] 被取完，且有 r1 + 1 = l2 即这两个区间连续，那么就可以将区间进行合并为 dp[l1][r2] 即最大获取量等于两者的和。即找到两个相邻子区间的答案将其合并为一个大区间。
    • 情况2： 假设当前在 mid 位置取到一个披萨，A 向左在 l 处取到一个披萨，B 向右在 r 处取到一个披萨。即 l, mid, r 那么就产生了 dp[l][r] 区间。那么产生这种情况有什么要求呢？必须满足两个严苛的条件，即 l+1----mid - 1 必须全部取完了这样 A 才会一直轮空取到第 l 块，同时 mid + 1---r - 1 必须也取完了，这样 B 才会一直轮空取到第 r 块。那么状态转移方程就可以表示为：dp[i + 1][mid - 1] + slices[mid] + dp[mid + 1][r - 1] 这三个的和用来更新 dp[l][r] 数组。这就是取披萨的操作

• 观察所以情况能够发现，取披萨操作即合并两相邻子区间操作就已经涵盖了所有的情况

• 如何断环？若不断环那么就会导致每次在数组边界时都得进行考虑，就会很麻烦。那么我们采用 区间 dp 的思想就需要将环处理成区间形式，这里直接采用一个技巧：倍增法，即将原数组 1 2 3 4 5 6 倍增为 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 这样就能将一个环的操作变成一个区间。再采用 区间 dp 操作即可

属实难度很大啊，全场只 AK 了 48 位大佬，难以想象。

参见代码如下：

// 执行用时 :1252 ms, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗 :18.6 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

const int MAXN = 500 + 50;
int dp[MAXN * 3][MAXN * 3];

class Solution {
public:
    int maxSizeSlices(vector<int>& slices) {
        int n = slices.size();
        
        memset(dp, -1, sizeof(dp));
        for (int i = 0; i < n + n; i++)
            dp[i][i + 2] = slices[(i + 1) % n];
        
        for (int len = 3; len < n; len++){
            if (len % 3 != 2) continue;
            for (int left = 0; left < n + n; left++){
                int right = left + len;
                if (right >= n + n) continue;
                for (int mid = left + 1; mid < right; mid++){
                    if ((mid - left - 1) % 3 != 0) continue;
                    if ((right - mid - 1) % 3 != 0) continue;
                    int cur = slices[mid % n];
                    if (mid != left + 1){
                        if (dp[left + 1][mid - 1] == -1) continue;
                        cur += dp[left + 1][mid - 1];
                    }
                    if (mid + 1 != right){
                        if (dp[mid + 1][right - 1] == -1) continue;
                        cur += dp[mid + 1][right - 1];
                    }
                    dp[left][right] = max(dp[left][right], cur);
                }
                for (int mid = left; mid < right; mid++){
                    if (dp[left][mid] == -1) continue;
                    if (dp[mid + 1][right] == -1) continue;
                    dp[left][right] = max(dp[left][right], dp[left][mid] + dp[mid + 1][right]);
                }
            }

        }
        int ans = -1;
        for (int i = 0; i < n; i++) if (dp[i][i + n - 1] != -1) ans = max(ans, dp[i][i + n - 1]);
        
        return ans;
    }
};