LeetCode-Python-1377. T 秒后青蛙的位置(DP + 图)

给你一棵由 n 个顶点组成的无向树,顶点编号从 1 到 n。青蛙从 顶点 1 开始起跳。规则如下:

在一秒内,青蛙从它所在的当前顶点跳到另一个 未访问 过的顶点(如果它们直接相连)。
青蛙无法跳回已经访问过的顶点。
如果青蛙可以跳到多个不同顶点,那么它跳到其中任意一个顶点上的机率都相同。
如果青蛙不能跳到任何未访问过的顶点上,那么它每次跳跃都会停留在原地。
无向树的边用数组 edges 描述,其中 edges[i] = [fromi, toi] 意味着存在一条直接连通 fromi 和 toi 两个顶点的边。

返回青蛙在 t 秒后位于目标顶点 target 上的概率。

 

示例 1:

输入:n = 7, edges = [[1,2],[1,3],[1,7],[2,4],[2,6],[3,5]], t = 2, target = 4
输出:0.16666666666666666 
解释:上图显示了青蛙的跳跃路径。青蛙从顶点 1 起跳,第 1 秒 有 1/3 的概率跳到顶点 2 ,然后第 2 秒 有 1/2 的概率跳到顶点 4,因此青蛙在 2 秒后位于顶点 4 的概率是 1/3 * 1/2 = 1/6 = 0.16666666666666666 。 
示例 2:

输入:n = 7, edges = [[1,2],[1,3],[1,7],[2,4],[2,6],[3,5]], t = 1, target = 7
输出:0.3333333333333333
解释:上图显示了青蛙的跳跃路径。青蛙从顶点 1 起跳,有 1/3 = 0.3333333333333333 的概率能够 1 秒 后跳到顶点 7 。 
示例 3:

输入:n = 7, edges = [[1,2],[1,3],[1,7],[2,4],[2,6],[3,5]], t = 20, target = 6
输出:0.16666666666666666
 

提示:

1 <= n <= 100
edges.length == n-1
edges[i].length == 2
1 <= edges[i][0], edges[i][1] <= n
1 <= t <= 50
1 <= target <= n
与准确值误差在 10^-5 之内的结果将被判定为正确。

来源:力扣(LeetCode)
链接:https://leetcode-cn.com/problems/frog-position-after-t-seconds
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思路:

某一时刻的状态依赖于上一时刻的状态,所以可以用DP解题。

        # dp[k][node] 代表在第 k 秒,蛤处于 node 的概率
        # dp[k][node] += dp[k - 1][parent] * prbability(parent -> node)

 先建图,然后利用状态转移方程进行求解即可。

时间复杂度:O(tN)

空间复杂度:O(tN)

class Solution(object):
    def frogPosition(self, n, edges, t, target):
        """
        :type n: int
        :type edges: List[List[int]]
        :type t: int
        :type target: int
        :rtype: float
        """
        from collections import deque, defaultdict
        
        # 1. 建图
        adj = defaultdict(set)
        for s, e in edges:
            adj[s].add(e)
            adj[e].add(s)
        
        # 2. 初始化 DP 数组
        # dp[k][node] 代表在第 k 秒,蛤处于 node 的概率
        # dp[k][node] += dp[k - 1][parent] * prbability(parent -> node)
        
        dp = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(t + 1)]
        dp[0][1] = 1
        
        for time in range(1, t + 1):
            for par in range(1, n + 1):
                if dp[time - 1][par]:
                    if not adj[par]:
                        # 如果无处可去,则停留在原地
                        dp[time][par] = dp[time - 1][par]
                    else:
                        # 能跳就跳
                        for node in adj[par]:
                            dp[time][node] += dp[time - 1][par] * 1.0 / len(adj[par])
                            
                        # 跳完就把用过的边删掉
                        for node in adj[par]:
                            adj[node].remove(par)
                        adj[par] = set()

        return dp[t][target]

 

 

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