卡尔曼家族从零解剖-(07) 高斯分布积分为1，高斯分布线性变换依旧为高斯分布，两高斯函数乘积仍为高斯。

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一、 前言

该篇博客，主要是对前面知识点进行扫盲，因为有太多的疑惑还没有得到解答，若直接略过直接展开后面的内容进行讲解，就没有办法达到个人编写该系列博客目的，本人是希望彻头彻尾弄明白卡尔曼滤波，及其分支。哪怕掘地三尺，刨根问底也再所不辞。在这之前，个人觉得需要把上篇博客拓展的内容，重述一遍。因为其对卡尔曼滤波的应用确实比较重要：

$(1)：$从状态轴 $x$ 来看，通常都是离散的。但是对于每个状态处理时，若有观测 $y$ 参与，则通常会涉及到连续处理。$仅供参考，结论：$ 卡尔曼滤波即包含了离散，也融入了连续。

$(2)：$ 卡尔曼滤波并不需要每次迭代都进行观测，可以以一定频率进行观测更新。其主要与观测数据精度相关，精度越高，允许间隔观测的间隔时长越大。且每次观测，可以观测多个数据。

$(3)：$卡尔曼滤波递推公式虽然是线性的，但是这并不意味着其只能应用于线性变换的场景，其也适用于一些复杂的非线性变换场景，需要观测频率较高。

当然，这篇博客有这篇博客的重点，上面仅仅是记录一下重点而已，下面三个问题就是该篇博客需要解答的：

$(1)：$高斯分布分布负无穷到正无穷的积分为什么是1？
$(2)：$ 高斯分布经过线性变换为什么还是高斯分布？
$(3)：$ 两个高斯分布函数的乘积为什么依旧是高斯分布？

二、证明高斯概率密度函数积分为1

不用多说，前面涉及到高斯概率密度函数的点，基本都使用到其积分为 1 这个性质。但是并没有进行详细推导，高斯函数又分为一元高斯与多元高斯，多元高斯会涉及到协方差矩阵，对于协方差矩阵，本人不打算在系列博客讲解，后续或许会归纳倒 史上最全slam从零开始 中 【零、SLAM基础知识解读–>难度系数00】部分。先来看看一元高斯，如果篇幅允许再分析多元高斯。

1. 一元高斯

所谓的一元高斯，也就是只有一个随机条件变量，话不多说，这里把他的表达式列一下：
$$\mathcal{N}(\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})\text{\hspace{1em}(1)}$$既然是要证明其积分为1，直接上手积分：
$$F(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\exp (\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})\text{\hspace{1em}(2)}$$ 上式中的 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$ 为常数，所以直接提到积分外面来，对于无穷积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\exp (\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$ 的求解是比较复杂的，有兴趣的朋友可以使用分步积分计算一下，计算过程把指数部分写成二次形式，可以发现是没有的，因为分布积分过程中，积分部分的 $x$ 的次数会越来越高。那么应该采用什么办法来求解呢？

二、两高斯函数乘积仍为高斯。

$$\mathcal{N}(\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})\text{\hspace{1em}(1)}$$上面仅仅是一个表达式而已，然而需要推导的是两个表达式，那么假设两个高斯函数如下：
$$f(x)={\mathcal{N}}_1({\mu }_1,{\sigma }_1)=\frac{1}{{\sigma }_1\sqrt{2\pi }}\exp (\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2})\text{\hspace{1em}(2)}$$$$g(x)={\mathcal{N}}_2({\mu }_2,{\sigma }_2)=\frac{1}{{\sigma }_2\sqrt{2\pi }}\exp (\frac{(x-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2})\text{\hspace{1em}(3)}$$ $重点:$ 上面的并没有区分 $x_1$ 与 $x_1$，也就是说，推导的基本条件是，同一个比变量，符合两种高斯分布，然后这计算这两个高斯概率密度函数的乘积，话不多说，先直接带入：
$$f(x)\cdot g(x)=(\frac{1}{{\sigma }_1\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{{\sigma }_2\sqrt{2\pi }})\exp (\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}\cdot \frac{(x-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2})\text{\hspace{1em}(4)}$$先来讨论其指数部分，令：
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